文章目錄

• • 1 將長(zhǎng)度為n的繩子分為m段求各段乘積的最大值
  • • 1.1 題目描述
    • 1.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解題
    • 1.3 貪心法求解

1 將長(zhǎng)度為n的繩子分為m段求各段乘積的最大值

1.1 題目描述

給你一根長(zhǎng)度為 n 的繩子，請(qǐng)把繩子剪成 m 段 (m 和 n 都是整數(shù)，n>1 并且 m>1)每斷繩子的
長(zhǎng)度記為 k[0],k[1],…,k[m].請(qǐng)問(wèn) k[0] k[1]…*k[m]可能的最大乘積是多少？

1.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解題

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法：
看題目就知道這玩意要用動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)，可是就是不知道狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如何推導(dǎo)出來(lái)，費(fèi)了九牛二虎之力才把別人的講解看懂，這思維根本不在一個(gè)層面啊，看來(lái)還是太菜，路漫漫兮。

先來(lái)看下動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解問(wèn)題的四個(gè)特征：
①求一個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解；
②整體的問(wèn)題的最優(yōu)解是依賴于各個(gè)子問(wèn)題的最優(yōu)解；
③小問(wèn)題之間還有相互重疊的更小的子問(wèn)題；
④從上往下分析問(wèn)題，從下往上求解問(wèn)題；

如下開(kāi)始對(duì)題目進(jìn)行分析：
有一段長(zhǎng)度為n的繩子，我們現(xiàn)在要剪第一刀，我可以選擇下第一刀的地方有1 ~ n-1這些地方；比如長(zhǎng)度為10的繩子，我第一刀可以在1~9這些地方下刀，共9種方式。

第一刀下去后，繩子分成兩部分，假設(shè)在i處下刀，繩子兩部分就分別為：[0 ~ i]與[i ~ n]，長(zhǎng)度分為表示為i與n-i；那么找出第一刀最合適的位置，其實(shí)就是找i在哪下刀，可以使得[0 ~ i]與[i~n]的乘積最大，函數(shù)表示為：f(n)=max(f(i)×f(n?i))。

那么如何判斷i處切最大呢？這個(gè)時(shí)候，我們就要知道，[0~i]這個(gè)長(zhǎng)度的繩子，任意方式切，最大的乘積是多少；假如說(shuō)，當(dāng)我們要切一個(gè)長(zhǎng)度為10的繩子：切成1和9與4和6，兩種方式，哪個(gè)乘積更大？

回答：不光要考慮第一刀后兩個(gè)繩子的大小，還要考慮到9、4、6這三種情況，因?yàn)榈谝坏肚谐龅睦K子長(zhǎng)度是否可以再切第二刀，使它有更大的乘積，比如將9再切成 3×3×3，6切成 4×2，哪個(gè)更大？

這種情況下，我們可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論再怎么切，一定是越切越短，那么我們是否可以將小于給定長(zhǎng)度的繩子的每一個(gè)長(zhǎng)度的最大乘積都求出來(lái)？

即：長(zhǎng)度為10的繩子，我們就計(jì)算出：長(zhǎng)度1~9這9種長(zhǎng)度的繩子，每種長(zhǎng)度的最大乘積是多少。 要求長(zhǎng)度9的繩子的最大乘積，我們要知道1 ~ 8各個(gè)長(zhǎng)度的最大乘積，要知道長(zhǎng)度8的最大乘積，就要知道1 ~ 7長(zhǎng)度的各個(gè)最大乘積，以此類推。

代碼分析如下：
f(n)定義為將長(zhǎng)度為n的繩子分成若干段后的各段長(zhǎng)度的最大乘積（最優(yōu)解），在剪第一刀時(shí)有n-1種剪法，可選擇在0 < i < n處下刀。在i處下刀，分成長(zhǎng)度為i的左半繩子和長(zhǎng)度為n-i的右半繩子，對(duì)于這兩根繩子，定義最優(yōu)解為f(i)和f(n-i)，于是f(n) = max(f(i) * f(n-i))，即求出各種相乘可能中的最大值就是f(n)的最優(yōu)解。就這樣從上到下的分下去，但是問(wèn)題的解決從下到上。即先求出f(2)、f(3)的最優(yōu)解，然后根據(jù)這兩個(gè)值求出f(4)、f(5)…直到f(n)。
f(2) = 1，因?yàn)橹荒芊殖蓛砂?#xff1b;f(3) = 2，因?yàn)榉殖蓛啥?1 大于分成三段的11*1。
…

public static int maxProductAfterCutting(int length){//長(zhǎng)度小于2 無(wú)法分割if(length<2)return 0;//長(zhǎng)度等于2 一分為二 1*1if(length==2)return 1;//長(zhǎng)度等于3 最大為1*2=2if(length==3)return 2;//定義一個(gè)存放>=4 長(zhǎng)度的數(shù)組 ，對(duì)>=4長(zhǎng)度的最大的乘積進(jìn)行臨時(shí)存儲(chǔ)int[] products=new int[length+1];//以下的前三個(gè)數(shù)組存放的不是最大值，而是長(zhǎng)度值products[1]=1;products[2]=2;products[3]=3;for(int i=4;i<=length;i++) {int maxModify=0;for(int j=1;j<=i/2;j++) {int product=products[j]*products[i-j];if(product>maxModify)maxModify=product;} //得到f(i)的最優(yōu)解products[i]=maxModify;} //返回發(fā)f(n)return products[length];}

也可使用遞歸的方式進(jìn)行求解：

int MaxProductCutting(int length) {if (length < 4){return length;}int max = 0;for (int i = 1; i <= length / 2; i++){int val = MaxProductCutting(i) * MaxProductCutting(length - i);if (val > max){max = val;}}return max; }int MaxProductAfterCutting1(int length) {if (length <= 1) return 0;if (length == 2) return 1;if (length == 3) return 2;return MaxProductCutting(length); }

1.3 貪心法求解

貪婪法，不斷分出長(zhǎng)度為3的繩子，如果最后只剩下長(zhǎng)度為1的繩子，退一步，將得到長(zhǎng)度為4的繩子，然后將這長(zhǎng)度為4的繩子分成22(這樣分是因?yàn)?2大于原來(lái)的31)。因此n = 4時(shí)不能分出長(zhǎng)度為3的繩子,而n = 2，n = 3可直接返回。當(dāng)n >=5時(shí)候，滿足n >=5這個(gè)不等式的有2(n-2) > n以及3*(n-3) > n 。注意到2+n-2 = 3+n-3 = n,也就是說(shuō)分出的兩個(gè)相乘的數(shù)要滿足和為n，且同樣的n，3*(n-3)的值更大，這就是為什么要不斷分出長(zhǎng)度為3的繩子的原因。

代碼如下：

public static int maxProductAfterCutting2(int length) {// 長(zhǎng)度為1時(shí)不滿足題意，返回0if (length < 2) {return 0;}// f(2)if (length == 2) {return 1;}// f(3)if (length == 3) {return 2;} // 統(tǒng)計(jì)能分出多少段長(zhǎng)度為3的繩子int timesOf3 = length / 3;// 如果最有只剩下長(zhǎng)度為1的繩子，需要退一步，得到長(zhǎng)度為4的繩子，重新分成2*2的if (length - timesOf3 * 3 == 1) {timesOf3--;}// 到這步length - timesOf3 * 3的值只可能是0,2,4，所以timesOf2只可能是0, 1, 2int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;return (int) Math.pow(3, timesOf3) * (int) Math.pow(2, timesOf2); }

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參考資料：

https://blog.csdn.net/u012429555/article/details/83184146

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的将长度为n的绳子分为m段求各段乘积的最大值的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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