• 向量

什么是向量？大小，方向。

有大小有方向的量就叫向量。存在于平面就叫平面向量。

• 發(fā)展歷程

向量(矢量)這個(gè)術(shù)語(yǔ)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)-物理中的一個(gè)重要概念，首先是由英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓使用的。向量的名詞雖來(lái)自哈密頓，但向量作為一條有向線(xiàn)段的思想?yún)s由來(lái)已久。向量理論的起源與發(fā)展主要有三條線(xiàn)索：物理學(xué)中的速度和力的平行四邊形法則、位置幾何、復(fù)數(shù)的幾何表示。
物理學(xué)中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個(gè)重要起源之一。18世紀(jì)中葉之后，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導(dǎo)致了在19世紀(jì)中葉向量力學(xué)的建立。同時(shí)，向量概念是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始于萊布尼茲的位置幾何。
現(xiàn)代向量理論是在復(fù)數(shù)的幾何表示這條線(xiàn)索上發(fā)展起來(lái)的。18世紀(jì)，由于在一些數(shù)學(xué)的推導(dǎo)中用到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何表示成為人們探討的熱點(diǎn)。哈密頓在做3維復(fù)數(shù)的模擬物的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。隨后，吉布斯和亥維賽在四元數(shù)基礎(chǔ)上創(chuàng)造了向量分析系統(tǒng)，最終被廣為接受。

平面向量也叫幾何矢量。

• 表達(dá)方式

模(module)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|AB|。

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向量介紹

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量。

零向量的方向任意。

②相等向量：兩個(gè)長(zhǎng)度相等且方向相等的向量。

③平行向量：兩個(gè)方向相同或相反的非零向量。

向量a、b平行，記作a//b，零向量與任意向量平行，即0//a。

④共線(xiàn)向量

平面向量。

⑤零向量與任何向量都平行且垂直。

⑥模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。

• 坐標(biāo)

①基底

平面上,任意向量a(包括零向量)均可用兩個(gè)非零向量(e1、e2)表示,即 a = x * e1 + y * e2 ((x, y)

R)。

作為基底的向量不能是零向量,即e1≠0、e2≠0(這里0指零向量)。一組基底并非一個(gè)非零向量,而是指兩個(gè)非零向量。

向量a的基底不是唯一的。

②坐標(biāo)

取i, j作為基底，a = x * e1 + y * e2

a = x * i + y * j (x, y唯一)，

記作a = (x, y).

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運(yùn)算

①加法運(yùn)算

②減法運(yùn)算

（注意方向）

（1）a + (－a)=(－a) + a=0,

（2）a－b=a + (－b).

③數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 λa .

• < 0 ：λa的方向和a的方向相反；
• = 0 ：λa=0；
• > 0 ：λa的方向和a的方向相同；

（1）(λμ)a= λ(μa)； （2）(λ ± μ)a= λa ± μa；

（3）λ(a±b) = λa± λb； （4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a).

④向量的線(xiàn)性關(guān)系

線(xiàn)性組合：an(n=1,2,3,......), λn(n=1,2,3,......), （n 表示下標(biāo)）

a=λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 +……+ λn an,叫做向量a1,a2,……，an的線(xiàn)性組合.

若上式λ不全為0，且λ1 a1 + λ2 a2 +……+ λn an = 0, 那么n個(gè)向量a1, a2,……，an叫做線(xiàn)性相關(guān). 反之叫做線(xiàn)性無(wú)關(guān).

若一組向量中的一部分線(xiàn)性相關(guān)，那么這一組向量就線(xiàn)性相關(guān).

兩向量共線(xiàn)的充要條件是它們線(xiàn)性相關(guān).

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坐標(biāo)

①向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

②向量的坐標(biāo)可進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算

• 兩個(gè)非零向量共線(xiàn)的充要條件是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.
• 三個(gè)非零向量a{X1, Y1, Z1}, b{X2, Y2, Z3}, c{X3, Y3, Z3}，共面的充要條件是

三階行列式

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參考資料：

①360百科：平面向量（平面向量_360百科）

②解析幾何 / 呂林根，徐子道編. - -4 版. - -北京：高等教育出版社，2006.5（2016.5重印）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的两个向量组的秩相等说明什么_解析几何初步：向量与坐标（一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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