層次分析法-MATLAB

第八章 層次分析法 層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP)是對一些較為復雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是美國運籌學家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一種簡便、靈活而又實用的多準則決策方法。 MATLAB教程網 WWW.MATLAB.NET.CN §1 層次分析法的基本原理與步驟 人們在進行社會的、經濟的以及科學管理領域問題的系統分析中，面臨的常常是一個由相互關聯、相互制約的眾多因素構成的復雜而往往缺少定量數據的系統。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。 運用層次分析法建模，大體上可按下面四個步驟進行： (i)建立遞階層次結構模型； (ii)構造出各層次中的所有判斷矩陣； (iii)層次單排序及一致性檢驗； (iv)層次總排序及一致性檢驗。 下面分別說明這四個步驟的實現過程。 1.1 遞階層次結構的建立與特點 應用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構造出一個有層次的結構模型。在這個模型下，復雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關系形成若干層次。上一層次的元素作為準則對下一層次有關元素起支配作用。這些層次可以分為三類： (i)最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預定目標或理想結果，因此也稱為目標層。 (ii)中間層：這一層次中包含了為實現目標所涉及的中間環節，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準則、子準則，因此也稱為準則層。 (iii)最底層：這一層次包括了為實現目標可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。 遞階層次結構中的層次數與問題的復雜程度及需要分析的詳盡程度有關，一般地層次數不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個。這是因為支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難。 下面結合一個實例來說明遞階層次結構的建立。 例1 假期旅游有、、 3個旅游勝地供你選擇，試確定一個最佳地點。 在此問題中，你會根據諸如景色、費用、居住、飲食和旅途條件等一些準則去反復比較3個侯選地點。可以建立如下的層次結構模型。 目標層 選擇旅游地 準則層 景色 費用 居住 飲食 旅途 措施層 1.2 構造判斷矩陣 層次結構反映了因素之間的關系，但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。 在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數據，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數據。為看清這一點，可作如下假設：將一塊重為1千克的石塊砸成小塊，你可以精確稱出它們的重量，設為，現在，請人估計這小塊的重量占總重量的比例(不能讓他知道各小石塊的重量)，此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數據。 設現在要比較個因子對某因素的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數據呢？Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子和，以表示和對的影響大小之比，全部比較結果用矩陣表示，稱為之間的成對比較判斷矩陣(簡稱判斷矩陣)。容易看出，若與對的影響之比為，則與對的影響之比應為。 定義1 若矩陣滿足 (i)，(ii)() 則稱之為正互反矩陣(易見，)。 關于如何確定的值，Saaty等建議引用數字1~9及其倒數作為標度。下表列出了1~9標度的含義： 標度 含 義 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒數 表示兩個因素相比，具有相同重要性 表示兩個因素相比，前者比后者稍重要 表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要 表示兩個因素相比，前者比后者強烈重要 表示兩個因素相比，前者比后者極端重要 表示上述相鄰判斷的中間值 若因素與因素的重要性之比為，那么因素與因素重要性之比為。 從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數據。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標度下人們判斷結果的正確性，實驗結果也表明，采用1~9標度最為合適。 最后，應該指出，一般地作次兩兩判斷是必要的。有人認為把所有元素都和某個元素比較，即只作個比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個判斷的失誤均可導致不合理的排序，而個別判斷的失誤對于難以定量的系統往往是難以避免的。進行次比較可以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復比較，從而導出一個合理的排序。 1.3 層次單排序及一致性檢驗 判斷矩陣對應于最大特征值的特征向量，經歸一化后即為同一層次相應因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。 上述構造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結果是前后完全一致的，則矩陣的元素還應當滿足： ， (1) 定義2 滿足關系式(1)的正互反矩陣稱為一致矩陣。 需要檢驗構造出來的(正互反)判斷矩陣是否嚴重地非一致，以便確定是否接受。 定理1 正互反矩陣的最大特征根必為正實數，其對應特征向量的所有分量均為正實數。的其余特征值的模均嚴格小于。 定理2 若為一致矩陣，則 (i)必為正互反矩陣。 (ii)的轉置矩陣也是一致矩陣。 (iii)的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而(同樣，的任意兩列也成比例)。 (iv)的最大特征值，其中為矩陣的階。的其余特征根均為零。 (v)若的最大特征值對應的特征向量為，則，，即 定理3 階正互反矩陣為一致矩陣當且僅當其最大特征根，且當正互反矩陣非一致時，必有。 根據定理3，我們可以由是否等于來檢驗判斷矩陣是否為一致矩陣。由于特征根連續地依賴于，故比大得越多，的非一致性程度也就越嚴重，對應的標準化特征向量也就越不能真實地反映出 在對因素的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。 對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下： (i)計算一致性指標 (ii)查找相應的平均隨機一致性指標。對，Saaty給出了的值，如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 的值是這樣得到的，用隨機方法構造500個樣本矩陣：隨機地從1~9及其倒數中抽取數字構造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值，并定義 。 (ⅲ)計算一致

總結

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