第三場微分方程建模講座筆記
主講人：董程棟，上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

微分方程：
定義：聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)與它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式

物體冷卻過程中的數(shù)學(xué)模型
牛頓冷卻定律：物體溫度變化速度與物體和介質(zhì)溫度的差值成正比

學(xué)到:
第一，找到相應(yīng)的背景知識
第二，掌握微分方程的知識

動態(tài)模型：
定義：描述對象特征隨著時間（或者空間）的演變過程
分析，預(yù)報，控制對象的手段

常微分方程
微分方程分為常微分方程和偏微分方程
常微分方程:自變量只有一個的微分方程

常微分方程建模過程：
1.簡化假設(shè)
2，實際情況：函數(shù)和變化率
3.內(nèi)在規(guī)律建方程

減肥模型
分析：能量守恒

建立模型

改進模型

(以上照片如果侵權(quán)，請聯(lián)系筆者刪除)
看競賽真題
2001年美賽斑馬貽貝，數(shù)量過多有害
【1】討論影響傳播的因素
【2】利用數(shù)據(jù)模擬斑馬貽貝的增長情況

想到：自然界生物增長模型
阻滯增長模型 logistic模型
最重要的假設(shè)是最大容量是多少

一般形式是微分方程，得到導(dǎo)數(shù)是鐘形圖形

我們需要看圖形，根據(jù)數(shù)據(jù)，繪制斑馬貽貝的模型得到差不多的增長圖像

1996年競賽A題：最優(yōu)捕魚策略
捕撈強度系數(shù)和自然死亡率

單位時間內(nèi)捕撈量與魚群數(shù)量的比例系數(shù)

規(guī)劃問題
微分方程模型一般是一部分，一道題中的

2005A題：長江水質(zhì)綜合評價
1評價定量評價，分析水質(zhì)污染情況 2.污染源有哪些
四個指標：溶解氧，高猛酸鹽指數(shù)，氨氮，ph

1.指標的問題：
有的越大越好，有的越小越好。
有的一項指標會覆蓋其他指標，比如氨氮是六級，溶解氧很高，也是污水，水質(zhì)不好
還有：量綱不同，數(shù)據(jù)大小不同

2.數(shù)據(jù)的標準化處理

ph值的谷型處理
|ph-7|除以一個差
DO值的歸一化處理
NH3-N歸一化處理
n減去最小值，整體除以最大值減去最小值這個整體

3.綜合指標的確定
采用動態(tài)加權(quán)法
給定一個歐米伽，作用是讓數(shù)據(jù)分散化，手機上有照片

是否可以用層次分析法來求四個參數(shù)的權(quán)重？
層次分析法的一致性檢驗 不一定能通過

17個觀測點28個排序結(jié)果
決策論中的borda數(shù)法決定決策方案

上面是第一問
思考：我們要學(xué)習(xí)的是對數(shù)據(jù)的處理方法

第二問，看污染物 的問題

分為六段，逐段分析
一維水質(zhì)模型
污染物分布濃度，斷面均勻，平均流速，其中k是污染物降解系數(shù)

怎么用呢？

江段AB距離d，n個排污口
排污口的流量，平均流速，污染物濃度
和江段干流的上述三個參數(shù)，用大寫表示

找到干流和排污口和上游的關(guān)系

污染物排放量的確定方法

排污量的上界值

假設(shè)AB段內(nèi)所有排污在一個點A，降解在一個位置B

排污量的下界值
假設(shè)排污口都在B點

平均相對排污量

取中值作為平均

第二問用的是一維水質(zhì)模型：常微分方程解決了這個問題

第三問
線性多元回歸

第四問，控制污水的比例
用的主要是回歸

總結(jié)這道題目:
計算排污的上界值和下界值，從而計算相對平均值，計算整體的排污量，這是一維水質(zhì)模型，常微分方程的作用

下一道競賽題
2003年A題 SARS 傳播

提供一個早期的模型，評判
建立自己的模型，預(yù)測預(yù)防控制信息的模型

傳染病模型回顧（筆者自己查找資料）

模型一：已感染人數(shù)（病人）

模型二：SI模型

模型三：SIS模型

模型四：移出者SIR模型

傳染病模型部分來源于
http://www.mcm.dept.ccut.edu.cn/sort.asp?4V3z3P2z2z2J2.html
評價之前的模型：
一：優(yōu)點
抓住主要特征
對比
容易理解
對參數(shù)挑選
二：缺點
缺乏一般原則和算法

第二問
建立自己的模型

模型的改進
四類：死亡的人包括進來

病人的變化，右邊是傳染的，治療好的，死亡的
還有死亡的
建立常微分方程組

需要離散，得到遞推關(guān)系，差分方程

每個sars病人傳染的人數(shù)，確定的原則是：新增的病人除以當天的感染人數(shù)

用指數(shù)曲線進行回歸擬合

得到隨時間變化的關(guān)系，用圖像來表示

第三問：收集Sars 對經(jīng)濟某方面影響的數(shù)據(jù)，建立模型
老師補充：善于運用現(xiàn)成的模型，加上自己的創(chuàng)新點
第三問影響可能是好的，不僅僅是壞的結(jié)果。

建模數(shù)值解法的基本思想

【1】euler折現(xiàn)法
或者稱為矩形法
利用taylor展開

【2】化導(dǎo)數(shù)成為差商
兩者都能得到差分方程

輸入?yún)?shù)，可以求得差分的方程結(jié)果

最后，筆者附上建模的基本方法：

【總結(jié)】
微分方程的偏微分部分是競賽中常考點。熟悉一些基本的微分方程的模型，但是具體問題具體分析。比如人口模型，傳染病模型需要掌握。
備注：以上是筆者參加上海大學(xué)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)時記錄的筆記。中間包含部分筆者查找的資料。

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2019年上海市数学建模讲座（3）微分方程建模方法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。