2019年上海市数学建模讲座（3）微分方程建模方法
第三場微分方程建模講座筆記
主講人：董程棟，上海財經大學數學學院
微分方程：
定義：聯系著自變量，未知函數與它的導數之間的關系式
物體冷卻過程中的數學模型
牛頓冷卻定律：物體溫度變化速度與物體和介質溫度的差值成正比
學到:
第一，找到相應的背景知識
第二，掌握微分方程的知識
動態模型：
定義：描述對象特征隨著時間（或者空間）的演變過程
分析，預報，控制對象的手段
常微分方程
微分方程分為常微分方程和偏微分方程
常微分方程:自變量只有一個的微分方程
常微分方程建模過程：
1.簡化假設
2，實際情況：函數和變化率
3.內在規律建方程
減肥模型
分析：能量守恒
建立模型
改進模型
(以上照片如果侵權，請聯系筆者刪除)
看競賽真題
2001年美賽斑馬貽貝，數量過多有害
【1】討論影響傳播的因素
【2】利用數據模擬斑馬貽貝的增長情況
想到：自然界生物增長模型
阻滯增長模型 logistic模型
最重要的假設是最大容量是多少
一般形式是微分方程，得到導數是鐘形圖形
我們需要看圖形，根據數據，繪制斑馬貽貝的模型得到差不多的增長圖像
1996年競賽A題：最優捕魚策略
捕撈強度系數和自然死亡率
單位時間內捕撈量與魚群數量的比例系數
規劃問題
微分方程模型一般是一部分，一道題中的
2005A題：長江水質綜合評價
1評價定量評價，分析水質污染情況 2.污染源有哪些
四個指標：溶解氧，高猛酸鹽指數，氨氮，ph
1.指標的問題：
有的越大越好，有的越小越好。
有的一項指標會覆蓋其他指標，比如氨氮是六級，溶解氧很高，也是污水，水質不好
還有：量綱不同，數據大小不同
2.數據的標準化處理
ph值的谷型處理
|ph-7|除以一個差
DO值的歸一化處理
NH3-N歸一化處理
n減去最小值，整體除以最大值減去最小值這個整體
3.綜合指標的確定
采用動態加權法
給定一個歐米伽，作用是讓數據分散化，手機上有照片
是否可以用層次分析法來求四個參數的權重？
層次分析法的一致性檢驗 不一定能通過
17個觀測點28個排序結果
決策論中的borda數法決定決策方案
上面是第一問
思考：我們要學習的是對數據的處理方法
第二問，看污染物 的問題
分為六段，逐段分析
一維水質模型
污染物分布濃度，斷面均勻，平均流速，其中k是污染物降解系數
怎么用呢？
江段AB距離d，n個排污口
排污口的流量，平均流速，污染物濃度
和江段干流的上述三個參數，用大寫表示
找到干流和排污口和上游的關系
污染物排放量的確定方法
排污量的上界值
假設AB段內所有排污在一個點A，降解在一個位置B
排污量的下界值
假設排污口都在B點
平均相對排污量
取中值作為平均
第二問用的是一維水質模型：常微分方程解決了這個問題
第三問
線性多元回歸
第四問，控制污水的比例
用的主要是回歸
總結這道題目:
計算排污的上界值和下界值，從而計算相對平均值，計算整體的排污量，這是一維水質模型，常微分方程的作用
下一道競賽題
2003年A題 SARS 傳播
提供一個早期的模型，評判
建立自己的模型，預測預防控制信息的模型
傳染病模型回顧（筆者自己查找資料）
模型一：已感染人數（病人）
模型二：SI模型
模型三：SIS模型
模型四：移出者SIR模型
傳染病模型部分來源于
http://www.mcm.dept.ccut.edu.cn/sort.asp?4V3z3P2z2z2J2.html
評價之前的模型：
一：優點
抓住主要特征
對比
容易理解
對參數挑選
二：缺點
缺乏一般原則和算法
第二問
建立自己的模型
模型的改進
四類：死亡的人包括進來
病人的變化，右邊是傳染的，治療好的，死亡的
還有死亡的
建立常微分方程組
需要離散，得到遞推關系，差分方程
每個sars病人傳染的人數，確定的原則是：新增的病人除以當天的感染人數
用指數曲線進行回歸擬合
得到隨時間變化的關系，用圖像來表示
第三問：收集Sars 對經濟某方面影響的數據，建立模型
老師補充：善于運用現成的模型，加上自己的創新點
第三問影響可能是好的，不僅僅是壞的結果。
建模數值解法的基本思想
【1】euler折現法
或者稱為矩形法
利用taylor展開
【2】化導數成為差商
兩者都能得到差分方程
輸入參數，可以求得差分的方程結果
最后，筆者附上建模的基本方法：
【總結】
微分方程的偏微分部分是競賽中常考點。熟悉一些基本的微分方程的模型，但是具體問題具體分析。比如人口模型，傳染病模型需要掌握。
備注：以上是筆者參加上海大學數學建模培訓時記錄的筆記。中間包含部分筆者查找的資料。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的2019年上海市数学建模讲座（3）微分方程建模方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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