臺灣國立大學郭彥甫Matlab教程筆記（22） Cramer’s method(Inverse matrix)

matrix left division左除:\ or mldivide()

solving systems of linear equations Ax=b using factorization methods:

求Ax=b中的x，只需要A\b
實際上，A\b這個算式matlab進行了很多判斷，進行了很多演算，時間復雜度有點高
左除本質上也是succesive elemination 逐次消去法
看一個線性方程組

matlab指令：
A=[1,2,1;2,6,1;1,1,4];
b=[2;7;3];
x=A\b

執行的結果：算出來x的值：

一道練習題：需要結合上一次筆記

關鍵點在于用matlab中矩陣把線性方程表述出來，然后求解，應該不難。
筆者的練習如下：

思考：這里需要用符號法syms嗎？
我的練習：

syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 A=[R1 0 0 R4 0; 0 R2 0 -R4 R5; 0 0 -R3 0 R5; 1 -1 0 -1 0; 0 1 -1 0 -1] b=[V1;0;V2;0;0]

執行一下，發現可以：

接下來就是求解的問題了，我想到的是用左除\

x=A\b

運行結果，這個用符號表示的線性方程組解出來了。

下面講一些矩陣分解的一些函數

Matrix decomposition funcitons矩陣分解函數

qr(): orthogonal-triangular decomposition 正交三角矩陣的分解
ldl(): Block LDL’s factorization for Hermitian indefinite matrices(厄密特不定矩陣)
ilu():Sparse稀疏 incomplete LU factorization 稀疏矩陣的LU不完全分解
lu();LU matrix factorization LU分解
chol(): Cholesky factorization Cholesky 針對的是正定矩陣的分解，也稱平方根法
gsvd(): generalized singular value decomposition 廣義奇異值分解
svd():singular value decomposition奇異值分解

下面來到 cramer’s method

Cramer’s(Inverse) method

A的逆矩陣： A^-1:inverse of A

可以求出x矩陣

Inverse Matrix逆矩陣

對于矩陣A，A的逆矩陣被定義為：
det（A）是矩陣A的行列式，是determinant的縮寫
adj(A)是A矩陣的伴隨矩陣(對整個矩陣求代數余子式，這些代數余子式構成的新的矩陣) 在這里是A中的a 和d 交換，b和c之間加負號

性質：
A的逆矩陣再取逆，還是A；
kA的逆矩陣等于1/k乘以A的inverse

接下來講解如何用cramer’s method 求解 方程組

solving equations using Cramer’s Method

下面的方程組例子

我們要求解x

在matlab中

A=[1,2,1;2,6,1;1,1,4]; b=[2;7;3]; x=inv(A)*b

可以得到這個方程組的解

Cramer’s method 有一個問題：A的逆矩陣不一定存在
三元一次方程組 ，是三個平面之間的關系
可能有唯一解，可能無限解，可能無解
舉例：矩陣中的兩行成比例，A的逆矩陣不存在

singular matrix
成為奇異矩陣，退化矩陣，不可逆矩陣

下面是作業題：

我的思考：如何畫一個平面
可能要用到plot3()函數
參考上幾次的筆記：matlab3D畫圖函數
x=-20:0.1:20;
y=0:0.1:40;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z1=-X-Y;
Z2=-X+Y;
Z3=-X/3;
hold on
mesh(X,Y,Z1,‘r’,X,Y,Z2,‘b’,X,Y,Z3,‘g’);
hold off;
報錯：mesh不能這樣用

修改成為下面這樣：

x=-20:0.1:20; y=0:0.1:40; [X,Y]=meshgrid(x,y);%繪制網格 Z1=-X-Y;%三個平面的表達式 Z2=-X+Y; Z3=-X/3; hold on mesh(X,Y,Z1);%繪圖 mesh(X,Y,Z2); mesh(X,Y,Z3); hold off;

然后得到的結果：（使用的是按鈕：三位旋轉，畫圖出來之后，在菜單欄上有）

另外一個角度：

當然，也可以把mesh 替換為 surf（）函數，這樣更逼真

接下來回顧一下 Cramer’s Method 的problem

其實，這個奇異矩陣（或者不可逆矩陣）在這種情況下也是。當一個矩陣的行列式很接近于零的時候，也稱為不可逆矩陣，這時候就不能用 Cramer’s method 來求解了

遇到 singular 的時候，想要另外處理

Functions to check matrix condition

兩個函數：
1）cond:matrix condition number 判斷矩陣是否健康，越小越健康（線性獨立性越好）
2)rank(): matrix rank 矩陣的秩

比較兩個矩陣：

如何看矩陣健不健康，需要Ax=b 這個原始公式，b已知，現在需要判斷矩陣A健不健康
做法是：讓A變化一點，看x變化多少，如果x變化很小，說明矩陣A很健康

用matlab看一下 兩個矩陣的健康程度：從理論上講，B矩陣比A健康
A=[1 2 3; 2 4.0001 6; 9 8 7];
cond(A)

B=[1 2 3; 2 5 6; 9 8 7];
cond(B)

可以看出來A矩陣是一個 ill-conditioned 的矩陣

【總結一下】
本文記錄了線性方程組的解法（二）：逆矩陣的方法。
同時學習了一下singular矩陣（奇異矩陣）的知識。
會使用cond()函數判斷矩陣是否健康，使用rank()函數求得矩陣的秩（幾個線性獨立的向量）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记（22） Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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