2173 ProjectEuler 71

1.0 秒 131,072.0 KB 20 分 初學者3級題
考慮分數a / b，其中a和b是正整數，如果a < b且a和b的最大公約數是1，我們說他是既約真分數。
我們升序列出所有b <= 8的既約真分數：

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

可以發現，比3/7小的最大的既約真分數是2/5。
輸入n，問滿足b <= n的既約真分數，比3/7小的最大是多少？

輸入
輸入第一行組數T，
接下來T行，每行一個整數n。
(1 <= T <= 20)
(1 <= n <= 1000000)
輸出
對于每組數據，輸出兩個數字a，b表示既約真分數，中間用空格隔開。
輸入樣例
3
8
5
1000000
輸出樣例
2 5
2 5
428570 999997

分析

分數q/p<3/7分數化簡為q<3*p/7，由于分母p的枚舉范圍固定,我們想要把分子q用分母p表示出來。由于q<3*p/7，分子最大值可以取q=(3*p-1)/7,讓分子 -1
用一個r和s去不斷更新p在枚舉過程中分數q/p的最大值，只要滿足
r/s<q/p，也即r * p<s *q就更新r和s的值，直到枚舉結束，輸出r和s對應的值.

其實，這里q也可以取其他值，比如-0.005也AC

q=(3*p-0.005)/7;

代碼

#include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std;int T,n,q;int main(){cin>>T;while(T--){cin>>n;int r=0,s=1;//要求分子小于分母for(int p=1;p<=n;p++){q=(3*p-1)/7;if(r*p<=s*q){r=q;s=p;}}cout<<r<<" "<<s<<endl;} }

補充知識

最大公約數的寫法，但是沒有用到
歐幾里得輾轉相除法

gcd(a,b)=gcd(a,a mod b)//a＞b

最簡單的最大公約數gcd的寫法，遞歸寫法如下
調用時不用區分x和y的大小

int gcd(int x,int y){if(y==0) return x;if(x<y) return gcd(y,x);else return gcd(y,x%y); }

但是c++庫函數自帶最大公約數的算法，位于頭文件algorithm中__gcd(x, y)
求兩個數的最大公約數，如__gcd(3，9) 就返回3。
所以以后用的話直接調用__gcd，而不是自己寫。

總結

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