通信原理第二章 隨機信號分析

一 隨機過程

定義

測試n臺性能相同的接收機，在同樣條件下，不加信號測試其輸出噪聲，波形如圖

（１）每一條曲線 ${\xi }_i(t)$ 都是一個隨機起伏的時間函數——樣本函數（確知信號），${\xi }_i(t)$ 稱之為隨機過程$\xi (t)$的一個實現／樣本。這是對于其中一臺接收機觀察。

（２）全體樣本函數的集合稱作隨機過程 $\xi (t)$。
$$\xi (t)=\{{\xi }_1(t),{\xi }_2(t),...,{\xi }_n(t)\}$$

（３）在某一特定時刻 $t_1$觀察各臺接收機的輸出噪聲值 $\xi (t_1)$ ，此時所有的輸出噪聲值是隨機過程$\xi (t)$一個隨機量（隨機變量)：
$$\xi (t_1)=\{{\xi }_1(t_1),{\xi }_2(t_1),...,{\xi }_n(t_1)\}$$

因此，隨機過程 ξ( ｔ) 是由無窮多個隨機變量構成的。
$$\xi (t)=\{\xi (t_1)+\xi (t_2)+...+\xi (t_n)+...\}$$

數字特征

名稱定義含義

均值	$a(t)=E[\xi (t)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }x{f}_1(x,t)dx$	隨機過程的擺動中心； 均值的平方是直流功率
均方值	$E[{\xi }^2(t)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}^2{f}_1(x,t)dx$	隨機過程的平均功率
方差	$D[\xi (t)]=E\{[\xi (t)?a(t){]}^2\}=E[{\xi }^2(t)]?a^2(t)={\sigma }^2(t)$	隨機過程的交流功率，相對于均值的振動程度
自相關函數	$R(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\xi (t_2)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}_1{x}_2{f}_2(x_1,x_2;t_1,t_2)d{t}_{1}d{t}_2=R(t_1,t_1+\tau )$	同一隨機過程在兩個不同時刻的隨機變量之間的關聯程度
互相關函數	$R_{\xi \eta }(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\eta (t_2)]=R_{\xi \eta }[t_1,t_1+\tau ]$	兩個隨機過程在兩個不同時刻的隨機變量之間的關聯程度

平均功率=直流功率+交流功率

上表中$\xi (t)$是隨機變量，其中的$t$取任意時刻.

二 平穩隨機過程

平穩隨機過程

名稱定義性質

嚴平穩	隨機過程 $\xi (t)$ 的任意 ｎ維分布與時間起點無關	一維分布與時間t無關；二維分布只與時間間隔$\tau$有關
廣義平穩	$a(t)=a，R(t_1,t_1+\tau )=R(\tau )$	數學期望是個常數，和時間t無關；自相關函數只與時間間隔$\tau$有關
兩者關系	嚴平穩一定是廣義平穩	廣義平穩不一定是嚴平穩

各態歷經性

任取平穩隨機過程 $\xi (t)$的任一樣本函數 $x(t)$,其時間均值和時間自相關滿足
$$\overline{a}=\overline{x(t)}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}x(t)dt=a$$
$$\overline{R(\tau )}=\overline{x(t)x(t+\tau )}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}x(t)x(t+\tau )dt=R(\tau )$$
則稱平穩隨機過程 $\xi (t)$具有各態歷經性。

意義：可用任意一次實現的“樣本平均”來取代隨機過程的“統計平均”，可用任意一次實現的功率譜密度來取代隨機過程的功率譜密度，簡化測量和計算問題；具有各態歷經性的隨機過程一定是平穩隨機過程，反之不一定成立。

三 高斯過程

（１）定義：任意 ｎ維概率密度都服從正態分布的隨機過程。
（２）重要性質：

高斯過程若廣義平穩，則必狹義平穩；
高斯過程中的隨機變量之間若不相關，則它們統計獨立；
若干個高斯過程之和仍是高斯過程；
高斯過程經線性變換后，仍是高斯過程。

均值為a，方差為${\sigma }^2$的高斯過程的一維概率密度函數

當均值a=0，標準擦$\sigma =1$時，稱$f(x)$為標準正態分布函數

下面給出一些常用的求通信系統的誤碼率的函數
Q函數、誤差函數、互補誤差函數，定義如下

$Q(\alpha )$的幾何意義如下：表示大于等于$\alpha$的概率

四.窄帶隨機過程

1.定義和表達式
窄帶隨機過程是指其頻帶寬度$\Delta f$遠遠小于中心頻率$f_c$的過程。用示波器觀察它的波形，是一個頻率近似$f_c$，包絡$a_{\xi }(t)$和相位${?}_c(t)$ 隨機緩變的正弦波。
窄帶隨機過程的一般表示式：
$$\xi (t)=a_{\xi }(t)cos[w_{c}t+{?}_{\xi }(t)]$$
等價式
$$\xi (t)={\xi }_c(t)cos{w}_{c}t?{\xi }_s(t)sin{w}_{c}t$$
式中${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$意思如下：
同相分量$${\xi }_c(t)=a_{\xi }(t)cos{?}_{\xi }(t)$$
正交分量
$${\xi }_s(t)=a_{\xi }(t)sin{?}_{\xi }(t)$$

2.統計特性
窄帶隨機過程$\xi (t)$的統計特性可有$a_{\xi }(t)$,${?}_{\xi }(t)$來決定，或者由${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$的統計特性決定。反過來，可以由$\xi (t)$的統計特性可確定$a_{\xi }(t)$,${?}_{\xi }(t)$的統計特性，或者${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$的統計特性。

下面給出兩個重要的結論

• 一個均值為0，方差為${\sigma }_{?}^2$的窄帶平穩高斯過程$\xi (t)$,它的同相分量${\xi }_c(t)$，正交分量${\xi }_s(t)$同樣是平穩隨機過程，且均值都為零，方差也相同。另外，在同一時刻得到的同相分量${\xi }_c(t)$和正交分量${\xi }_s(t)$是統計獨立的。
  數學公式為
  

• 一個均值為0，方差為${\sigma }_{?}^2$的窄帶平穩高斯過程$\xi (t)$,其包絡$a_{\xi }(t)$的一維分布是瑞利分布，相位${?}_{\xi }(t)$的一維分布是均勻分布，且就一維分布而言，$a_{\xi }(t)$和${?}_{\xi }(t)$是相互獨立的。
  數學表述為
  

3.白噪聲
凡是功率譜密度在整個頻域內都是均勻分布的噪聲，稱為白噪聲。
白噪聲的功率譜密度為
$$P_{\xi }(w)=\frac{n_0}{2}$$
由于$R(\tau )?P_{\xi }(w)$,且$\delta (\tau )?1$
白噪聲的自相關函數為
$$R(\tau )=\frac{n_0}{2}\delta (\tau )$$

由上面自相關表達式，我們知道，白噪聲只有在$\tau =0$的時候才相關，它在任意兩個時刻上的隨機變量都是不相關的。

這里補充一點，以后討論的熱噪聲和散彈噪聲都視為白噪聲。

4.帶限白噪聲
白噪聲被限制在$(?f_0,f_0)$內，則這樣的白噪聲被稱為帶限白噪聲。
功率譜密度

自相關函數

五.正弦波加窄帶高斯過程

通信系統中經常會遇到正弦波加窄帶高斯噪聲的情況。
考慮窄帶高斯噪聲的一般表達式
$$\xi (t)={\xi }_c(t)cos{w}_{c}t?{\xi }_s(t)sin{w}_{c}t$$

得到正弦波+窄帶高斯噪聲的時域表達式

其中，s(t)表示正弦波，n(t)表示窄帶高斯噪聲

六.平穩隨機過程通過線性系統

設線性系統的沖激響應是$h(t)$，輸入為${\xi }_i(t)$，則輸出為
$${\xi }_o(t)={\xi }_i(t)?h(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }h(\tau ){\xi }_i(t?\tau )d\tau ={\int }_{?\infty }^{\infty }{\xi }_i(\tau )h(t?\tau )d\tau$$

因為系統是物理可實現的，有
這是要保證系統沖激響應h(t)為正值。

輸出信號的均值

輸出信號的功率譜密度

參考資料：樊昌信《通信原理》考點精講

總結

以上是生活随笔為你收集整理的通信原理随机信号分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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