一.微分方程的基本概念

1.微分方程
含導數或微分的方程稱為微分方程，一般形式為
$$f(x,y^{\prime },...,y^{(n)})=0$$
2.微分方程的階數
微分方程中所含導數或微分的最高階數稱為微分方程的階數。
3.微分方程的解
使得微分方程成立的函數稱為微分方程的解。
不含任意常數的解稱為微分方程的特解。
若微分方程的解中所含的相互獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相等，稱這個解為微分方程的通解。

二.高階微分方程

1.二階常系數齊次線性微分方程的解法
二階常系數齊次線性微分方程
形如
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=0(p,q為常數)$$的方程稱為二階常系數齊次線性微分方程。

求解步驟如下
求解方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=0$的特征方程
$${\lambda }^2+p\lambda +q=0$$
根據特征方程根的不同分為如下三種情況：
1）當$\Delta =p^2?4q>0$,兩特征值${\lambda }_1={\lambda }_2$，則原方程的通解為
$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

2）當$\Delta =p^2?4q=0$,特征方程有兩個相等的實根${\lambda }_1={\lambda }_2$，則原方程的通解為
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}$$
3）當$\Delta =p^2?4q<0$，特征方程有兩個共軛虛根${\lambda }_1=\alpha +\beta i$和${\lambda }_2=\alpha ?\beta i$，則原方程的通解為
$$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$$

2.三階常系數齊次線性微分方程
形如
$$y^{\prime \prime \prime }+p{y}^{\prime \prime }+q{y}^{\prime }+ry=0$$
的二階常系數齊次線性微分方程
其特征方程為
$${\lambda }^3+p{\lambda }^2+q\lambda +r=0$$

根據特征值的不同情形通解如下：
1)當${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$是實數，并且兩兩不等時，通解為
$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x}$$
2)當${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$是實數，并且${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$時，通解為
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x}$$
3)當${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$是實數，并且${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$時，通解為
$$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2)e^{{\lambda }_{1}x}$$
4)當${\lambda }_1$是實數，${\lambda }_2=\alpha +\beta i$和${\lambda }_3=\alpha ?\beta i$時，通解為
$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+e^{\alpha x}(C_{2}cos\beta x+C_{3}sin\beta x)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学-微分方程知识点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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