01背包：每個物品只能選擇一次
狀態轉移方程
$$f[i][j]=max(f[i][j],f[i?1][j?v]+w)$$

完全背包：每個物品可以選擇無數次

狀態轉移方程
$$f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j?v]+w)$$
其中v表示第i個物品的體積，w表示第i個物品的價值

狀態表示
集合：從前i個物品中選，體積不超過j
屬性：最大值max
$?f[i][j]$表示只從前i個物品中選，并且體積不超過j的方案的最大價值。
狀態計算
對于$f[i][j]$,劃分集合，可以劃分為很多個
對于第i個物品，我們不選,對應的最大價值:$f[i?1][j]$
對于第i個物品，我們只選1個,對應的最大價值：$f[i?1][j?v]+w$
對于第i個物品，我們只選2個,對應的最大價值：$f[i?1][j?2v]+2w$
不失一般性，選擇k個，對應的最大價值:$f[i?1][j?kv]+kw$
只要不超過背包容量m的限制，可以一直選擇下去，假設最多放k件物品。
所以，狀態計算的方程為上述計算結果的最大值：
$$f[i][j]=max(f[i?1][j],f[i?1][j?v]+w,f[i?1][j?2v]+2w,...,f[i?1][j?kv]+kw,)（1）$$

使用變量代換：令j=j-v,此時$f[i][j?v]$表示只在前i個物品中選，背包容量不超過j-v的方案的價值最大值。
有
$$f[i][j?v]=max(f[i?1][j?v],f[i?1][j?2v]+w,f[i?1][j?3v]+2w,...,f[i?1][j?kv]+(k?1)w,)$$

這里并沒有增加一項$f[i?1][j?(k+1)v]+kw$，這是因為背包容量從j變成了j-v，如果背包容量為j時最多可以放k件物品，那么背包容量為j-v時，背包最多可以放k-1件物品。

我們發現
即(1)式的后半部分可以使用f[i][j-v]+w來表示
所以，最后的狀態轉移方程為
$$f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j?v]+w)$$
ac代碼（樸素解法）

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std;const int maxn=1010;int n,m,dp[maxn][maxn],a[maxn],v[maxn],w[maxn]; int main(){cin>>n>>m;//讀入物品數目，背包容量//base case memset(dp,0,sizeof(dp));//數組全部置零for(int i=1;i<=n;i++){//從1開始存cin>>v[i]>>w[i];//讀入每件物品的體積和價值}for(int i=1;i<=n;i++)//狀態轉移for(int j=1;j<=m;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])//背包放得下dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);}cout<<dp[n][m]<<endl; }

ac代碼（空間優化解法）

主要代碼
dp[j-v[i]]小于dp[j],此時從小到大遍歷背包容量時，dp[j-v[[i]]已經更新到本層，而不是上一層。滿足//相當于dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i])
根據閆氏dp分析法， 代碼更改之后需要邏輯沒變，發現等價后沒變。

for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){dp[j]=dp[j];//相當于dp[i][j]=dp[i-1][j]if(j>=v[i])//背包容量為j時的最大價值 dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);//相當于dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i])}cout<<dp[m]<<endl;//輸出背包容量為m時的結果

這樣我們就省掉了空間。

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std;const int maxn=1010;int n,m,dp[maxn],a[maxn],v[maxn],w[maxn]; int main(){cin>>n>>m;memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){//遍歷背包容量if(j>=v[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);//背包容量為j時的最大價值 }cout<<dp[m]<<endl;//輸出背包容量為m時的結果 }

更精簡的寫法
把遍歷背包容量直接提到循環里面for(int j=v[i];j<=m;j++)

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std;const int maxn=1010;int n,m,dp[maxn],a[maxn],v[maxn],w[maxn]; int main(){cin>>n>>m;memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}for(int i=1;i<=n;i++)//遍歷物品 for(int j=v[i];j<=m;j++){//遍歷背包容量 dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);//背包容量為j時的最大價值 }cout<<dp[m]<<endl;//輸出背包容量為m時的結果 }

以后寫完全背包就寫優化后的解法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的完全背包dp优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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