首先需要知道：二進(jìn)制補(bǔ)碼表示的正數(shù)實(shí)際上左側(cè)有無限多個(gè)0，而負(fù)數(shù)有無限多個(gè)1.只是為了適應(yīng)硬件的寬度，二進(jìn)制表示的數(shù)的前導(dǎo)位被隱藏了。

舉例

下面看一下64位的 $?4_{ten}$的補(bǔ)碼（以64位機(jī)器（機(jī)器里面存的是補(bǔ)碼）為例）：

$00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two}=[4{]}_{補(bǔ)}$
$11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two}=[?4{]}_{補(bǔ)}$
下標(biāo)two表示二進(jìn)制，下標(biāo)ten表示十進(jìn)制。

我們把$[?4{]}_{補(bǔ)}$和$[4{]}_{補(bǔ)}$相加會(huì)得到什么呢？

$$\begin{gathered} [?4{]}_{補(bǔ)}+[4{]}_{補(bǔ)}=00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} \\ +11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two} \\ =1,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} \end{gathered}$$
我們發(fā)現(xiàn) 64位補(bǔ)碼相加得到$2^{64}$!

下面求8位的 $?4_{ten}$的補(bǔ)碼

已知 有符號(hào)數(shù) $?4_{ten}=10000100_{two}$,

根據(jù)口訣:負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼=負(fù)數(shù)的原碼取反(符號(hào)位不變，數(shù)據(jù)位取反)+1
可以得到：$[?4{]}_{補(bǔ)}=11111011_{two}+00000001_{two}=11111100_{two}$,

而$4_{ten}$的補(bǔ)碼仍然是原碼，即$[4{]}_{補(bǔ)}=00000100_{two}$,

我們把$[?4{]}_{補(bǔ)}$和$[4{]}_{補(bǔ)}$相加會(huì)得到什么呢？

$[?4{]}_{補(bǔ)}+[4{]}_{補(bǔ)}=11111100_{two}+00000100_{two}=1,00000000$

我們發(fā)現(xiàn) 8位補(bǔ)碼相加得到$2^8$!

歸納

二進(jìn)制補(bǔ)碼得名于下述規(guī)則：一個(gè)n位的數(shù)與其n位的相反數(shù)做無符號(hào)加法，結(jié)果為$2^n$,因此，x的相反數(shù)（或相補(bǔ)數(shù)）-x 等于$2^n?x$,或叫“二進(jìn)制補(bǔ)碼”。

以n=8位為例，1的二進(jìn)制表示為00000001，則 -1的二進(jìn)制補(bǔ)碼可以由上面的公式寫出來
$[?1{]}_{補(bǔ)}=2^n?1=2^8?1=1,00000000?00000001=11111112?00000001=11111111$
注：這里11111112僅僅是方便計(jì)算，實(shí)際二進(jìn)制中逢二進(jìn)一，還是100000000.

同樣的，我們來看-128的情況。

對(duì)于$128_{ten}=2^7=10000000$ ,這里的n=8，根據(jù)補(bǔ)碼的定義：

$[?128{]}_{補(bǔ)}=2^8?128=1,00000000?10000000=11111112?10000000=10000000$

綜上，求1個(gè)負(fù)數(shù)(-x)的補(bǔ)碼，只需要用$2^n?x$即可，這里的n表示這個(gè)負(fù)數(shù)的二進(jìn)制位數(shù)。注意這里x是正數(shù)

后記：這個(gè)問題在《計(jì)算機(jī)組成與設(shè)計(jì)-硬件/軟件接口》一書中有詳細(xì)的解釋。

總結(jié)

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