寫在前面：本文僅供個人學習使用。《大話數據結構》通俗易懂，適合整體做筆記輸出，構建體系。并且文中很多圖片來源于該書。

文章目錄

• • 5.2 串的定義
  • 5.3串的比較
  • 5.4串的抽象數據類型
  • 5.5 串的存儲結構
  • • 5.5.1 串的順序存儲結構
    • 5.5.2 串的鏈式存儲結構
  • 5.6樸素的模式匹配算法
  • 5.7 KMP模式匹配算法
  • • 5.7.1 KMP模式匹配算法原理
    • 5.7.2 next數組值推導
    • 5.7.3 KMP模式匹配算法實現
    • 5.7.4 KMP模式匹配算法改進
    • 5.7.5 nextval數組值推導

串：串（string）是由零個或多個字符組成的有限序列，又名叫字符串。

5.2 串的定義

早先的計算機在被發明時，主要作用是做一些科學和工程的計算工作，也就是現在我們理解的計算器，只不過它比小小的計算器功能更強大、速度更快一些。后來發現，在計算機上作非數值處理的工作越來越多，使得我們不得不需要引入對字符的處理。 于是就有了字符串的概念。

比如我們現在常用的搜索引擎，當我們在文本框中輸入“數據”時，它已經把我們想要的“數據結構“列在下面了。顯然這里網站作了一個字符串查找匹配的工作，如圖所示。

今天我們就來研究”串“這樣的數據結構，先來看定義。串(string) 是由零個或多個字符組成的有限序列，又名叫字符串。

一般記為$s="a_1{a}_2...a_n(n\ge 0)"$,其中，s是串的名稱，用雙引號括起來的字符序列是串的值，注意引號不是串的內容。$a_i$可以是字母、數字或其他字符，i就是該字符在串中的位置。串中的字符數目n稱為串的長度，定義中談到”有限“是指長度n是一個有限的數值。零個字符的串稱為空串(null string),它的長度為零，可以直接用兩雙引號”""“表示，也可以用希臘字母$\Phi$來表示。所謂的序列，說明串的相鄰字符之間具有前驅和后繼的關系。

還有一些概念需要解釋。

空格串，是只包含空格的串。注意它與空串的區別，空格串是有內容有長度的，而且可以不止一個空格。
子串與主串，串中任意個數的連續字符組成的子序列稱為該串的子串，相應地，包含子串的串稱為主串。

子串在主串中的位置就是子串的第一個字符在主串中的序號。

5.3串的比較

兩個數字，很容易比較大小。2比1大，這完全正確，可是兩個字符串如何比較？ 比如”silly“ ”stupid“ 這樣的同樣表達”愚蠢的“的單詞字符串，它們在計算機中的大小其實取決于它們挨個字母的前后順序。 它們的第一個字母都是”s“，我們認為不存在大小差異，而第二個字母，由于”i“字母比”t“字母要靠前，所以”i“<“t”，于是我們說”silly“<“stupid”。

事實上，串的比較是通過組成串的字符之間的編碼來進行的，而字符的編碼指的是字符在對應字符集中的序號。

計算機中常用的字符使用ASCII編碼，更準確一點，由7位二進制數表示一個字符，總共可以表示128個字符。后來發現由于一些特殊字符的出現，128個不夠用，于是擴展ASCII碼由8位二進制數表示一個字符，總共可以表示256個字符，這已經足夠滿足以英語位主的語言和特殊符號進行輸入、存儲、輸出等操作的字符需要了。 可是，單我們國家就有除漢族外的滿、回、藏、蒙古等多個少數民族文字，換作全世界估計要有成百上千種語言和文字，顯然這256個字符是不夠的，因此后來就有了Unicode編碼，比較常用的是由16位的二進制數表示一個字符，這樣總共就可以表示$2^{16}$個字符，約是65萬多個字符，足夠表示世界上所有語言的所有字符了。當然，為了和ASCII兼容，Unicode的前256個字符與ASCII碼完全相同。

所以，如果我們要在C語言中比較兩個串是否相等，必須是它們串的長度以及它們各自對應位置的字符都相等時，才算是相等。 即給定兩個串：$s="a_1{a}_2...a_n"$，$t="b_1{b}_2...b_m"$，當且僅當n=m，且$a_1=b_1,a_2=b_2,...a_n=b_m$時，我們認為s=t。

那么對于兩個不相等的串，如何比較它們的大小呢？我們這樣定義：
給定兩個串：$s="a_1{a}_2...a_n"$，$t="b_1{b}_2...b_m"$，當滿足以下條件之一時，有s<t.

n<m,且$a_i=b_i(i=1,2,...n)$ 例如 當s=“hap”,t=“happy”，就有s<t.因為t比s多出了兩個字母。

存在某個k≤min(m,n)，使得$a_i=b_i(i=1,2,...,k?1),而a_k<b_k。$例如當s=“happen”,t=“happy”，因為兩串的前4個字母均相同，而兩串第5(k值)個字母，字母e的ASCII碼是101，而字母y的ASCII碼是121，顯然e<y，所以s<t.

說白了，就是字典序，即字典中排列的順序。

5.4串的抽象數據類型

串的邏輯結構和線性表很相似，不同之處在于串針對的是字符集，也就是串中的元素都是字符。因此，對于串的基本操作和線性表的操作是有很大差別的。線性表更關注的是單個元素的操作，比如查找一個元素，插入或刪除一個元素，但串中更多的是查找子串的位置、得到指定位置的子串、替換子串等操作。

ADT 串(string) Data串中元素僅由一個個字符組成，相鄰元素具有前驅和后繼關系。 OperationStrAssign(T,*chars):生成一個其值等于字符串常量chars的串T。StrCopy(T,S):串s存在，有串s復制得到串TClearString(S):串s存在，將串清空StringEmpty(S):若串S為空，返回true，否則返回falseStrLength(S):返回串S的元素個數，即串的長度StrCompare(S,T):若S>T,返回值>0,若S=T，返回0；若S<T，返回值<0Concat(T,S1,S2):用T返回由S1和S2連接而成的新串SubString(Sub,S,pos,len):串S存在，1≤pos≤StrLength(S),其0≤len≤StrLength(S)-pos+1,用Sub返回串S的第pos個字符起長度為len的子串Index(S,T,pos):串S和T存在，T是非空串，1≤pos≤StrLength(S)，若主串S中存在和串T值相同的子串，則返回它在主串S中第pos個字符之后第一次出現的位置，否則返回0Replace(S,T,V):串S、T、V存在,T是非空串。用V替換主串S中出現的所有與T相等的不重疊的子串。StrInsert(S,pos,T):串S和T存在，1≤pos≤StrLength(S)+1.在串S的第pos個字符之前插入串TStrDelete(S,pos,len):串S存在，1≤pos≤StrLength(S)-len+1，從串S中刪除第pos個字符起長度為len的子串。 endADT

對于不同的高級語言，對于串的基本操作會有不同的定義方法，所以在用某個語言操作字符串時，需要先查看它的參考手冊關于字符串的基本操作。不過還好，不同語言除方法名之外，操作實質都是類似的。比如C#語言，字符串操作就還有ToLower轉小寫，ToUpper轉大寫，IndexOf從左查找子串位置，LastIndexOf從右查找子串位置，Trim去除兩邊空格等比較方便的操作，它們其實就是前面這些基本操作的擴展函數。

我們來看一個操作Index 的實現算法。

int Index(String S ,String T,int pos){int n,m,i;String sub;if(pos>0){n=StrLength(S);//得到主串S的長度m=StrLength(T);//得到子串T的長度i=pos;while(i<=n-m+1){SubString(sub,S,i,m);//取主串第i個位置上長度與T相等的子串給subif(StrCompare(sub,T)!=0) ++i;// 如果兩串不相等else return i; //如果兩串相等}}return 0; //如果子串與T相等，返回0 }

其中用到了StrLength，SubString，StrCompare等基本操作來實現。

5.5 串的存儲結構

串的存儲結構和線性表相同，分為兩種。

5.5.1 串的順序存儲結構

串的順序存儲結構是用一組地址連續的存儲單元來存儲串中的字符序列的。按照預定義的大小，為每個定義的串變量分配一個固定長度的存儲區。一般用定長數組來定義。

既然是定長數組，就存在一個預定義的最大串長度，一般可以將實際的串長度值保存在數組0下標位置，有的書中也會定義存儲在數組的最后一個下標位置。但是有些編程語言不想這么干，覺得存個數占空間麻煩。它規定在串值后面加一個不計入串長度的結束標記字符，比如“\0”來表示串值的終結，這個時候，你想要知道此時的串長度，就需要遍歷計算一下才知道，其實這還是需要占用一個空間，何必呢。

剛才講的串的順序存儲結構其實是有問題的，因為字符串的操作，比如兩串的連接Concat，兩串的插入StrInsert，以及字符串的替換Replace，都有可能使得串序列的長度超過了數組的長度MaxSize。

于是對于串的順序存儲，有一些變化，串值的存儲空間可在程序執行過程中動態分配而得。比如在計算機中存在一個自由存儲區，叫做“堆”。這個堆可由C語言的動態分配函數malloc()和free()來管理。

5.5.2 串的鏈式存儲結構

對于串的鏈式存儲結構，與線性表是相似的，但由于串結構的特殊性，結構中的每個元素數據是一個字符，如果也簡單的應用鏈表存儲串值，一個結點對應一個字符，就會存在很大的空間浪費。因此，一個結點可以存放一個字符，也可以考慮存放多個字符，最后一個結點若是未被占滿時，可以用“#”或其他非串值字符補全，如圖所示

當然，這里一個結點存多少個字符才合適就變得很重要，這會直接影響著串處理的效率，需要根據實際情況做出選擇。

但串的鏈式存儲結構除了在連接串與串操作時有一定方便之外，總的來說不如順序存儲靈活，性能也不如順序存儲結構好。

5.6樸素的模式匹配算法

在計算機文獻中常用的英文單詞有哪些呢？想寫個程序，只要輸入一些英文的文檔，就可以計算出這當中所用頻率最高的詞匯是哪些。當然，實際操作時有很多困難，不過，這里面最重要其實就是去找一個單詞在一篇文章(相當于一個大字符串)中的定位問題。這種子串的定位操作通常稱作串的模式匹配，應該算是串中最重要的操作之一。

假設我們要從下面的主串S="goodgoogle"中，找到T="google"這個子串的位置。我們通常需要下面的步驟。

1 主串S第一位開始，S與T前三個字母都匹配成功，但S的第四個字母是d而T的字母是。第一位匹配失敗。如下圖所示，其中豎直連線表示相等，閃電狀彎折線表示不等。

2 主串S第二位開始，主串S首字母是o，要匹配的T首字母是g，匹配失敗。如下圖所示

3 主串S第三位開始，主串S首字母是o，要匹配的T首字母是g，匹配失敗，如下圖所示

4 主串S第四位開始，主串S首字母是d，而T首字母是g，匹配失敗，如下圖

5 主串S第五位開始，S與T，6個字母全匹配，匹配成功，如下圖所示

簡單地說，就是對主串的每個字符作為子串的開頭，與要匹配的字符串進行匹配。對主串做大循環，每個字符開頭做T的長度的小循環，直到匹配成功或全部遍歷完成為止。

前面我們已經用串的其他操作實現了模式匹配算法Index。現在考慮不用串的其他操作，而是只用基本的數組來實現同樣的算法。注意我們假設主串S和要匹配的子串T的長度存在S[0]和T[0]中，實現的代碼如下

//返回子串T在主串S中第pos個字符之后的位置。若不存在，則函數返回值為0int Index(String S,String T,int pos){int i=pos;int j=1;while(i<=S[0]&&j<=T[0]){if(S[i]==T[j]) ++i,++j;else{指針后退重新開始匹配i=i-j+2;//i回退到上次匹配首位的下一位j=1;//j回退到子串T的首位}}if(j>T[0]) return i-T[0];//T[0]是子串的長度else return 0;}

分析一下，最好的情況是什么？那就是一開始就匹配成功，時間復雜度為O(1)。稍差一些，就像第二、三位一樣，每次都是首字母不匹配，那么對T串的循環就不必進行了，比如“abcdef”里面找"goo"。那么時間復雜度為O(n+m),其中n為主串長度，m為要匹配的字串長度。一般情況，根據等概率原則，平均是$\frac{m+n}{2}$次查找，時間復雜度為O(m+n).

那么最壞的情況呢？ 就是每次不成功的匹配都發生在串T的最后一個字符。舉一個極端的例子。主串S為"00…000001",而要匹配的子串T為"0000000001",前者是有49個0和1個1的主串，后者是9個0和1個1的子串。在匹配時，每次都得將T中字符循環到最后一位才發現：哦，原來它們不匹配啊。這樣等于T串需要在S串的前40個位置都需要判斷10次，并得出不匹配的結論，如下圖所示

直到最后第41個位置，因為全部匹配成功，所以不需要再繼續下去，如下圖所示。如果最終沒有可匹配的子串，比如T是“00000000002”，到了第41個位置判斷不匹配后同樣不需要繼續比對下去。因此最壞情況的時間復雜度是O((n-m+1)*m)。

不要以為這是很少見的情況，相反，在實際運用中，對于計算機來說，處理的都是二進制位的01串，一個字符的ASCII碼也可以看成是8位的二進制位01串，當然，漢字等所有的字符也都可以看成是多個01串。再比如像計算機圖形也可以理解成是由許許多多個0和1的串組成的。所以在計算機的運算當中，模式匹配操作可以說是隨處可見，而剛才的這個算法，就顯得太低效率。

5.7 KMP模式匹配算法

在很多年前，我們的科學家們，覺得像這種有多個0和1重復字符的字符串，卻需要挨個遍歷的算法是非常糟糕的事情。于是有三位前輩，D.E.Knuth,J.H.Morris 和V.R.Pratt 發表一個模式匹配算法，可以大大避免重復遍歷的情況，我們把它稱為克努特-莫里斯-普拉特算法，簡稱KMP算法。

（未完待續）

5.7.1 KMP模式匹配算法原理

5.7.2 next數組值推導

5.7.3 KMP模式匹配算法實現

5.7.4 KMP模式匹配算法改進

5.7.5 nextval數組值推導

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《大话数据结构》读书笔记-串的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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