文章目錄

• • • acwing885. 求組合數 I（遞推:數據范圍：2000）
    • acwing875. 快速冪（a的k次方 模 b）
    • acwing876. 快速冪求逆元
    • acwing886. 求組合數 II（逆元：數據范圍:100000）
    • acwing887. 求組合數 III
    • acwing888. 求組合數 IV(不取模，直接算Cab)

acwing885. 求組合數 I（遞推:數據范圍：2000）

分析：組合數$C_a^b=\frac{a!}{b!(a?b)!}$,比如$C_5^3=\frac{5!}{3!(5?3)!}=\frac{5\times 4}{2}=10$，a和b的范圍是2000，按照定義算的話，階乘的復雜度會超時。

可以使用組合數的遞推式：兩重循環時間復雜度$O(N^2)$
$$C_a^b=C_{a?1}^b+C_{a?1}^{b?1}$$

在2000 *2000 的時間內來預處理所有組合數的值，最后求的話直接查表即可。
acwing885. 求組合數 I
AC代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N =2010, mod = 1e9 + 7;int c[N][N]; void init(){for(int i =0 ;i< N; i++)for(int j =0; j<=i; j++)if(!j) c[i][j] =1;else c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]) %mod; }int main(){int n;cin >> n;init();while(n--){int a, b;cin>> a >> b;cout<<c[a][b]<<endl;} }

acwing875. 快速冪（a的k次方 模 b）

acwing875. 快速冪

分析：快速冪，顧名思義，快速地求冪$a^{k}modb$，時間復雜度$O(logk)$
常規思路：復雜度O(k),太慢！

int res =1; for(int i =1;i<=k ;i++) res =res * a mod p;

快速冪：復雜度O(logk)
首先初始化
$$\begin{gathered} a^{2^0}modp \\ {a}^{2^1}modp \\ {a}^{2^2}modp \\ ...... \\ {a}^{2^{logk}}modp \end{gathered}$$

對于要求的$a^k$,我們需要用上面的拼湊出來 $a^k=a^{2^i}\times a^{2^j}\times .....\times a^{2^m}=a^{2^i+2^j+...+2^m}$，這里需要用到k的二進制表示，比如$k=10_{ten}=1010_{two}$，那么$a^{10}=a^{2^1+2^3}$,就是二進制表示中哪一位是1，就可以將指數拆成2的冪的和的形式。

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long LL;//a^k %p int qmi(int a, int k ,int p){int res = 1;//k的二進制表示while(k){//如果當前k二進制的末位是1的話if(k & 1) res = (LL) res* a % p;//k >>= 1; //k右移1，等價于刪掉最后一位//a的下一個，平方一下，2^0 to 2^1 to 2^2 to 2^3....a = (LL) a * a % p;}return res; }int main(){int n ;scanf("%d",&n);while(n--){int a, k ,p;scanf("%d%d%d",&a,&k,&p);printf("%d\n",qmi(a,k,p));} }

acwing876. 快速冪求逆元

acwing876. 快速冪求逆元

分析:我們想把$\frac{a}{b}$這種除法轉化為乘法運算，這里把$\frac{a}{b}\equiv a\times x(modp)$，把x稱為b的模p的逆元，記作$b^{?1}$.這是一個數，不是 -1次方。逆元存在的前提是b和模數p互質。
換句話說，b 的模p逆元x滿足$b\times x\equiv 1(modp)$

由費馬小定理 $b^{p?1}\equiv 1(modp)$，則$b\times b^{p?2}\equiv 1(modp)$
由逆元的定義，$b^{p?2}$就是b的模p逆元。

來源：維基百科

所以這道題求得就是$a^{p?2}modp$，所以這是一個快速冪的題目。

AC代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL;int qmi(int a,int k,int p){int res =1;while(k){if(k & 1)res = (LL) res*a % p;k >>= 1;a =(LL) a* a % p;}return res; }int main(){int n;cin >> n;while(n--){int a ,p;cin >> a >> p;//互質的情況下，才有逆元if(a % p ) cout<<qmi(a,p-2, p)<<endl;//不互質else cout<<"impossible"<<endl;} }

acwing886. 求組合數 II（逆元：數據范圍:100000）

這里的數據量a和b是100000（10萬），采用的優化是對組合數$C_a^b=\frac{a!}{b!(a?b)!}$ 中某一步的優化，求逆元infact(b-a)，簡單地講，可以把逆元看作倒數。

所以組合數$C_a^b=\frac{a!}{b!(a?b)!}=fact(a)\times infact(b?a)\times infact(b)$

$fact[i]=i!\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$
$infact[i]=(i!{)}^{?1}mod10^9+7$

時間復雜度$O(NlogN)$

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 100010, mod = 1e9 +7;typedef long long LL;int fact[N],infact[N];//快速冪int qmi(int a, int k ,int p){int res =1;while(k){if(k & 1) res = (LL) res * a % p;a = (LL) a* a %p;k>>= 1;}return res; }int main(){fact[0] = infact[0] =1;for(int i=1; i< N; i++){//階乘預處理，打表fact[i] =(LL)fact[i -1] * i % mod;//逆元 i 的 mod-2次方就是 i的模 mod的逆元infact[i] = (LL)infact[i-1]* qmi(i ,mod -2 ,mod) % mod;}int n;cin >> n;while(n--){int a ,b ;cin >> a >> b;//階乘定義計算cout<< (LL)fact[a] *infact[b] %mod * infact[a-b] % mod<<endl;} }

acwing887. 求組合數 III

acwing887. 求組合數 III
數據范圍 1e18，使用盧卡斯定理時間復雜度大概是$O(plogp)$

盧卡斯定理
$$C_a^b\equiv C_{amodp}^{bmodp}\times C_{a/p}^{b/p}(modp)$$

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long LL;int p;//快速冪 int qmi(int a, int k){int res =1;while(k){if(k& 1) res =(LL) res * a % p;a =(LL) a*a % p;k >>= 1;}return res; }//返回組合數：a里面選b個數 int C(int a ,int b){int res = 1;for(int i =1 , j= a; i<= b; i++ ,j --){//組合數中的分子res = (LL) res * j % p;//組合數中的分母res = (LL) res * qmi(i ,p-2) % p;}return res; }//lucas定理 int lucas( LL a ,LL b){if(a<p && b< p) return C(a,b);return (LL)C(a %p ,b % p) *lucas(a/p ,b/p) % p; } int main(){int n;cin >> n;while(n--){LL a , b;cin>> a >> b >> p;cout<<lucas(a, b)<<endl;} }

acwing888. 求組合數 IV(不取模，直接算Cab)

acwing888. 求組合數 IV

$C_a^b=\frac{a!}{(a?b)!b!}$
思路
1.篩素數
2.每個質數的次數
$a!=?\frac{a}{p}?+?\frac{a}{p^2}?+?\frac{a}{p^3}?+...$
3.高精度乘法所有質因子乘在一起

AC代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 5010; int primes[N],sum[N],cnt; bool st[N];//線性篩質數void get_prime(int n){for(int i =2; i<= n; i++){if(!st[i]) primes[cnt++] =i;for(int j =0;primes[j]<= n/i; j++){st[primes[j] * i] =true;if( i % primes[j] == 0) break;}} } //有幾個p int get(int n ,int p){int res = 0;while(n){res += n/ p;n/= p;}return res; }//高精度乘法 vector<int> mul(vector<int> a,int b){vector<int> c;int t =0;for(int i= 0; i<a.size();i++){t += a[i]*b;c.push_back(t % 10);t/= 10;}while(t){c.push_back(t %10);t /= 10;}return c; } int main(){int a, b;cin >> a >> b;get_prime(a);for(int i =0; i < cnt; i++){int p =primes[i];sum[i] = get(a,p) -get(b,p) -get(a-b,p); }vector<int > res;res.push_back(1);for(int i=0 ;i< cnt; i++){for(int j = 0; j<sum[i]; j++)res = mul(res, primes[i]);}for(int i= res.size()-1; i>= 0; i--)cout<<res[i];}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法刷题-数论-组合数、快速幂、逆元、递推求组合数、逆元求组合数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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