題目分析

來源：acwing
分析：

先利用矩陣運算的性質將通項公式變成冪次形式，然后用快速冪的方法求解第 n項。

斐波那契數列的遞推公式：$$f_1=f_2=1,f_n=f_{n?2}+f_{n?1}(n\ge 3)$$

定義向量 $F_n=[f_n,f_{n+1},S_n]$,其中$f_n$和$f_{n+1}$ 分別表示斐波那契數列的第n項和第n+1項，而且$S_n$表示斐波那契數列的前n項和。則$$F_1=[f_1,f_2,S_1]=[1,1,1]$$

我們要找到遞推關系式，即找到 $F_{n+1}=[f_{n+1},f_{n+2},S_{n+1}]$和 $F_n=[f_n,f_{n+1},S_n]$的關系

我們找到矩陣$$A=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}?$$
可以得到
$$[f_{n+1},f_{n+2},S_{n+1}]=[f_n,f_{n+1},S_n]?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}?$$

即：$$F_{n+1}=F_{n}A$$

所以：
$$F_n=F_1{A}^{n?1}$$

時間復雜度：快速冪的時間復雜度是 $O(logn)$，所以本算法的時間復雜度也是$O(logn)$。

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 3; typedef long long LL;int n, m;void mul(int c[], int a[], int b[][N]){int temp[N] = {0};for(int i = 0; i < N; i++)for(int j = 0; j < N; j++)temp[i] = (temp[i] + (LL) a[j] * b[j][i]) % m;memcpy(c, temp, sizeof temp); }void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N]){int temp[N][N] = {0};for(int i = 0; i< N; i ++)for(int j = 0; j<N; j++)for(int k = 0; k<N; k++)temp[i][j] = (temp[i][j] + (LL) a[i][k] * b[k][j] ) % m;memcpy(c, temp, sizeof temp); }int main(){cin >> n >> m;int f1[N] = {1, 1, 1};//f1, f2, s1int a[N][N] = {{0, 1, 0},{1, 1, 1},{0, 0, 1}};// f1 * a^(n-1)n --; // n變成n-1while(n){if( n & 1) mul(f1, f1, a); // f1 = f1 * a;mul(a, a, a); // a = a * a;n >>= 1; // n /= 2;}cout << f1[2] << endl;}

題目來源

https://www.acwing.com/problem/content/1305/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法提高课-数学知识-矩阵乘法-AcWing 1303. 斐波那契前 n 项和：矩阵乘法，快速幂，线性代数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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