題目分析

來源：acwing

分析： 這題是最短路樹。保持原圖中所有點到根結點的最短距離不變，然后在原圖中選擇一些邊，使所有點連通的最短路是多長。

最短路徑樹，是一種使用最短路徑算法生成的數據結構樹。
定義
考慮一個連通無向圖G，一個以頂點v為根節點的最短路徑樹T是圖G滿足下列條件的生成樹——樹T中從根節點v到其它頂點u的路徑距離，在圖G中是從v到u的最短路徑距離。

來源：維基百科

在這個生成樹上的兩點a和b，如果a能通過b點到達根結點，那么有一個等式$d[b]=d[a]+w_{a?>b}$，其中$d[b]$和$d[a]$表示該點到根的距離,$w_{a?>b}$表示a到b的距離。

既然有了這個等式，其實每個點到根結點的路徑的選項就有限了，因為該點到根的最小距離可以求出來，該點通過其他點到根結點一定滿足上面的等式，所以我們可以預處理出來可行的通路！做法是dijkstra求每個點的最短路，然后遍歷除根之外的所有點，看看它們的鄰邊有哪些是滿足上面這個等式的。

其實，上面等式還說明了另一個問題，就是d[a] 一定比d[b]小，因為邊權都是正的，這就啟發我們將單源最短路的點從小到大排序，從小到大開始查看是否滿足這個等式，滿足的可以和根結點形成樹！

我們假設f(i)表示把前i個點合法掛到根結點所需要的總代價。
在掛第i個點的時候，只有幾個點滿足上述等式（我們稱之為備選邊),
所以有 $f(i)=min[f(i?1)+w(被選點\to i)]$

到這一步，這里公共的是f(i-1)，我們只需要求出最小的w(某點->i點)即可。

所以，我們最后求的答案就是不斷從根的鄰點遍歷，求出每個點權值最小的邊（該點需要滿足$d[b]=d[a]+w_{a?>b}$這個等式）

所以，核心代碼如下

for(int a = 2; a <= n; a ++){int minw = INF; // 遍歷所有的鄰點for(int j = h[a]; ~j; j = ne[j]){int b= e[j];if(dist[a] == dist[b] + w[j])minw = min(minw, w[j]);}res += minw; // 每個點找到權值最小的邊}

AC代碼

#include<bits/stdc++.h> #define x first #define y second using namespace std; typedef pair<int, int> PII; const int N = 10010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;int dist[N]; bool st[N];int n, m; int h[N], e[M],ne[M], w[M], idx;void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++; }// 求根到所有點的最短路 void dijkstra(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0, 1});while(heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.y, distance = t.x;if(st[ver]) continue;st[ver] = true;for(int i = h[ver]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}}int main(){cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);while(m --){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;add(a, b, c), add( b, a, c);}dijkstra();// int res = 0;for(int a = 2; a <= n; a ++){int minw = INF;// 遍歷所有的鄰點for(int j = h[a]; ~j; j = ne[j]){int b= e[j];// 根到a的距離 == 根到b的距離 + a到b的距離if(dist[a] == dist[b] + w[j])minw = min(minw, w[j]);}res += minw;}cout << res << endl; }

題目鏈接

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CSP认证201609-4交通规划[C++题解]：最短路径树、dijkstra求单源最短路、递推思想的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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