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題目

農(nóng)夫約翰的農(nóng)場由 N 塊田地組成，每塊地里都有一定數(shù)量的牛，其數(shù)量不會少于 1 頭，也不會超過 2000 頭。

約翰希望用圍欄將一部分連續(xù)的田地圍起來，并使得圍起來的區(qū)域內(nèi)每塊地包含的牛的數(shù)量的平均值達到最大。

圍起區(qū)域內(nèi)至少需要包含 F 塊地，其中 F 會在輸入中給出。

在給定條件下，計算圍起區(qū)域內(nèi)每塊地包含的牛的數(shù)量的平均值可能的最大值是多少。

輸入格式
第一行輸入整數(shù) N 和 F，數(shù)據(jù)間用空格隔開。

接下來 N 行，每行輸入一個整數(shù)，第 i+1 行輸入的整數(shù)代表第 i 片區(qū)域內(nèi)包含的牛的數(shù)目。

輸出格式
輸出一個整數(shù)，表示平均值的最大值乘以 1000 再 向下取整 之后得到的結(jié)果。

數(shù)據(jù)范圍
1≤N≤100000
1≤F≤N
輸入樣例：

10 6 6 4 2 10 3 8 5 9 4 1

輸出樣例：

6500

題解

來源：最佳牛圍欄

題目分析

選取長度最短為f的子序列，其平均值最大。這里的難度在于長度可以大于f，而不是固定f。

我們的思路是，平均值最大問題（最優(yōu)化問題）轉(zhuǎn)化為一個判定問題：猜想（二分）出來一個平均值mid，判斷是否存在一個長度大于等于f的連續(xù)子序列滿足。

有關(guān)平均值的常用技巧：一個序列的平均值大于mid $?$把序列中每個元素都減去mid，然后求和，只要和大于0

使用雙指針：i 和 j，其間隔為f。需要記錄i指針前面部分的最小值，每次判斷sum[j]大于等于i前面區(qū)間的最小值：sum[j] ≥ min[sum(0 ~ i)],如果滿足，則二分往后半?yún)^(qū)間移動。

注意，這里就滿足了區(qū)間長度大于等于m：因為i 和 j已經(jīng)間隔m，然后如果取i前面的值，則區(qū)間長度大于m。

在代碼中：minv是最小的前綴和，sum[j]也是前綴和，只要sum[j]減去minv大于零，表示從前綴和是minv的位置到j(luò)這個區(qū)間中的所有值的和大于0，也就是平均值大于mid。

時間復(fù)雜度： $O(nlogr)$，其中r為二分的長度，這里是≤ 2000，n為序列的長度。

ac代碼

#include <bits/stdc++.h>using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int cows[N]; int n, m; double sum[N];bool check(double avg) {// 每個數(shù)變成它減去平均數(shù)，再求前綴和for (int i = 1; i <= n; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + cows[i] - avg;double minv = 0;// 雙指針for (int i = 0, j = m; j <= n; j ++, i ++) {minv = min(minv, sum[i]); // [0, i]的最小值if (sum[j] >= minv) return true; // sum[j] >= minv：存在長度≥m，且平均值≥ avg}return false; }int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> cows[i];double l = 0, r = 2000; // 可取的平均值一定在[0, 2000]之間// 二分平均值while (r - l > 1e-5) {double mid = (l + r) / 2;if (check(mid)) l = mid; // 如果mid滿足啦，就判斷更大的平均值，即l = midelse r = mid;}cout << int(r * 1000) << endl;} 《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

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