快速排序時(shí)間復(fù)雜度為O（n×log（n））的證明

2014年05月22日 11:17:52?oohaha_123?閱讀數(shù)：2789?標(biāo)簽：?快速排序算法導(dǎo)論復(fù)雜度證明?更多

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快速排序時(shí)間復(fù)雜度為O（n×log（n））的證明

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之前只知道快速排序的平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n×log（n）），最糟糕時(shí)復(fù)雜度為O（n^2），但卻不知道具體原因，今天好好證明一下，最后部分摘自《算法導(dǎo)論》。

首先再介紹一遍快排的思想：

通過一趟排序?qū)⒋庞涗浄指畛瑟?dú)立的兩部分，其中一部分記錄的關(guān)鍵字均比另一部分記錄的關(guān)鍵字小，則可分別對(duì)這兩部分記錄繼續(xù)進(jìn)行排序，以達(dá)到整個(gè)序列有序的目的。

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1、最優(yōu)情況

在最優(yōu)情況下，Partition每次都劃分得很均勻，如果排序n個(gè)關(guān)鍵字，其遞歸樹的深度就為 [log2n]+1（ [x] 表示不大于 x 的最大整數(shù)），即僅需遞歸 log2n 次，需要時(shí)間為T（n）的話，第一次Partiation應(yīng)該是需要對(duì)整個(gè)數(shù)組掃描一遍，做n次比較。然后，獲得的樞軸將數(shù)組一分為二，那么各自還需要T（n/2）的時(shí)間（注意是最好情況，所以平分兩半）。于是不斷地劃分下去，就有了下面的不等式推斷：

這說(shuō)明，在最優(yōu)的情況下，快速排序算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)。

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2、最糟糕情況

然后再來(lái)看最糟糕情況下的快排，當(dāng)待排序的序列為正序或逆序排列時(shí)，且每次劃分只得到一個(gè)比上一次劃分少一個(gè)記錄的子序列，注意另一個(gè)為空。如果遞歸樹畫出來(lái)，它就是一棵斜樹。此時(shí)需要執(zhí)行n‐1次遞歸調(diào)用，且第i次劃分需要經(jīng)過n‐i次關(guān)鍵字的比較才能找到第i個(gè)記錄，也就是樞軸的位置，因此比較次數(shù)為?，最終其時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)。

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3、一般情況

最后來(lái)看一下一般情況，平均的情況，設(shè)樞軸的關(guān)鍵字應(yīng)該在第k的位置（1≤k≤n），那么：

本來(lái)想按這種思路推導(dǎo)出來(lái)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)半天推不出結(jié)果，最后去翻閱《算法導(dǎo)論》7.4節(jié)，發(fā)現(xiàn)證明過程還是蠻復(fù)雜的，我就偷懶貼一下好了~

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的快速排序时间复杂度为O（n×log（n））的证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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