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一個(gè)算法的優(yōu)劣往往通過(guò)算法復(fù)雜度來(lái)衡量，算法復(fù)雜度包括時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

時(shí)間復(fù)雜度是算法的所需要消耗的時(shí)間，時(shí)間越短，算法越好。可以對(duì)算法的代碼進(jìn)行估計(jì)，而得到算法的時(shí)間復(fù)雜度。

一般來(lái)說(shuō)，算法代碼簡(jiǎn)短精悍可以用來(lái)減少算法的時(shí)間復(fù)雜度！

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空間復(fù)雜度指的是算法程序在執(zhí)行時(shí)所需要的存儲(chǔ)空間。空間復(fù)雜度可以分為以下兩個(gè)方面！

1.程序的保存所需要的存儲(chǔ)空間資源。即程序的大小；

2.程序在執(zhí)行過(guò)程中所需要消耗的存儲(chǔ)空間資源，如中間變量等；

一般來(lái)說(shuō)，程序的大小越小，執(zhí)行過(guò)程中消耗的資源越少，這個(gè)程序就越好！

下面為時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的計(jì)算

時(shí)間復(fù)雜度是總運(yùn)算次數(shù)表達(dá)式中受n的變化影響最大的那一項(xiàng)(不含系數(shù)) 比如：一般總運(yùn)算次數(shù)表達(dá)式類似于這樣： a*2n+b*n3+c*n2+d*n*lg(n)+e*n+f a ！ =0時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度就是O(2n); a=0,b<>0 =>O(n3); a,b=0,c<>0 =>O(n2)依此類推 例子: (1) for(i=1;i<=n;i++) //循環(huán)了n*n次，當(dāng)然是O(n2)for(j=1;j<=n;j++)s++; (2) for(i=1;i<=n;i++)//循環(huán)了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n2)/2，因?yàn)闀r(shí)間復(fù)雜度是不考慮系數(shù)的，所以也是O(n2)for(j=i;j<=n;j++)s++; (3) for(i=1;i<=n;i++)//循環(huán)了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,當(dāng)然也是O(n2)for(j=1;j<=i;j++)s++; (4) i=1;k=0;//循環(huán)了n-1≈n次，所以是O(n)while(i<=n-1){k+=10*i; i++; } (5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1; // 循環(huán)了(1 ²+2 ²+3 ²+...+n ²)=n(n+1)(2n+1)/6(這個(gè)公式要記住哦)≈(n ³)/3，不考慮系數(shù)，自然是O(n ³) 另外，在時(shí)間復(fù)雜度中，log ₂n與lg(n)(同lg ₁₀(n))是等價(jià)的，因?yàn)閷?duì)數(shù)換底公式： log _ab=log _cb/log _ca 所以，log ₂n=log ₂10 * lg(n),忽略掉系數(shù)，二者當(dāng)然是等價(jià)的 二、計(jì)算方法 1.一個(gè)算法執(zhí)行所耗費(fèi)的時(shí)間，從理論上是不能算出來(lái)的，必須上機(jī)運(yùn)行測(cè)試才能知道。
但我們不可能也沒(méi)有必要對(duì)每個(gè)算法都上機(jī)測(cè)試，只需知道哪個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間多，哪個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間少就可以了。
并且一個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間與算法中語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，哪個(gè)算法中語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)多，它花費(fèi)時(shí)間就多。 一個(gè)算法中的語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)稱為語(yǔ)句頻度或時(shí)間頻度。記為T(n)。 2.一般情況下，算法的基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是模塊n的某一個(gè)函數(shù)f（n），
因此，算法的時(shí)間復(fù)雜度記做：T（n）=O（f（n））。隨著模塊n的增大，算法執(zhí)行的時(shí)間的增長(zhǎng)率和f（n）的增長(zhǎng)率成正比，
所以f（n）越小，算法的時(shí)間復(fù)雜度越低，算法的效率越高。 在計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度的時(shí)候，先找出算法的基本操作，然后根據(jù)相應(yīng)的各語(yǔ)句確定它的執(zhí)行次數(shù)，
再找出T（n）的同數(shù)量級(jí)（它的同數(shù)量級(jí)有以下：1，Log ₂n ，n ，nLog ₂n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），
找出后，f（n）=該數(shù)量級(jí)，若T(n)/f(n)求極限可得到一常數(shù)c，則時(shí)間復(fù)雜度T（n）=O（f（n））。 3.常見的時(shí)間復(fù)雜度 按數(shù)量級(jí)遞增排列，常見的時(shí)間復(fù)雜度有： 常數(shù)階O(1), 對(duì)數(shù)階O(log ₂n), 線性階O(n), 線性對(duì)數(shù)階O(nlog ₂n), 平方階O(n ²)，
立方階O(n ³),...， k次方階O(n ^k), 指數(shù)階O(2 ⁿ) 。 其中， 1.O(n)，O(n ²)， 立方階O(n ³),...， k次方階O(n ^k) 為多項(xiàng)式階時(shí)間復(fù)雜度，分別稱為一階時(shí)間復(fù)雜度，二階時(shí)間復(fù)雜度。。。。 2.O(2 ⁿ)，指數(shù)階時(shí)間復(fù)雜度，該種不實(shí)用 3.對(duì)數(shù)階O(log ₂n), 線性對(duì)數(shù)階O(nlog ₂n)，除了常數(shù)階以外，該種效率最高 例：算法：for（i=1;i<=n;++i）{for(j=1;j<=n;++j){c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬于基本操作 執(zhí)行次數(shù)：n ² for(k=1;k<=n;++k)c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬于基本操作 執(zhí)行次數(shù)：n ³ }}則有 T（n）= n ²+n ³，根據(jù)上面括號(hào)里的同數(shù)量級(jí)，我們可以確定 n ³為T（n）的同數(shù)量級(jí)則有f（n）= n ³，然后根據(jù)T（n）/f（n）求極限可得到常數(shù)c則該算法的 時(shí)間復(fù)雜度：T（n）=O（n ³) 四、定義：
如果一個(gè)問(wèn)題的規(guī)模是n，解這一問(wèn)題的某一算法所需要的時(shí)間為T(n)，它是n的某一函數(shù) T(n)稱為這一算法的“時(shí)間復(fù)雜性”。 當(dāng)輸入量n逐漸加大時(shí)，時(shí)間復(fù)雜性的極限情形稱為算法的“漸近時(shí)間復(fù)雜性”。 我們常用大O表示法表示時(shí)間復(fù)雜性，注意它是某一個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜性。大O表示只是說(shuō)有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個(gè)上界，但并不是上確界，但人們?cè)诒硎镜臅r(shí)候一般都習(xí)慣表示前者。 此外，一個(gè)問(wèn)題本身也有它的復(fù)雜性，如果某個(gè)算法的復(fù)雜性到達(dá)了這個(gè)問(wèn)題復(fù)雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。 “大O記法”：在這種描述中使用的基本參數(shù)是 n，即問(wèn)題實(shí)例的規(guī)模，把復(fù)雜性或運(yùn)行時(shí)間表達(dá)為n的函數(shù)。這里的“O”表示量級(jí) (order)，比如說(shuō)“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說(shuō)它需要“通過(guò)logn量級(jí)的步驟去檢索一個(gè)規(guī)模為n的數(shù)組”記法 O ( f(n) )表示當(dāng) n增大時(shí)，運(yùn)行時(shí)間至多將以正比于 f(n)的速度增長(zhǎng)。 這種漸進(jìn)估計(jì)對(duì)算法的理論分析和大致比較是非常有價(jià)值的，但在實(shí)踐中細(xì)節(jié)也可能造成差異。
例如，一個(gè)低附加代價(jià)的O(n2)算法在n較小的情況下可能比一個(gè)高附加代價(jià)的 O(nlogn)算法運(yùn)行得更快。
當(dāng)然，隨著n足夠大以后，具有較慢上升函數(shù)的算法必然工作得更快。 O(1) Temp=i;i=j;j=temp; 以上三條單個(gè)語(yǔ)句的頻度均為1，該程序段的執(zhí)行時(shí)間是一個(gè)與問(wèn)題規(guī)模n無(wú)關(guān)的常數(shù)。
算法的時(shí)間復(fù)雜度為常數(shù)階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執(zhí)行時(shí)間不隨著問(wèn)題規(guī)模n的增加而增長(zhǎng)，
即使算法中有上千條語(yǔ)句，其執(zhí)行時(shí)間也不過(guò)是一個(gè)較大的常數(shù)。此類算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(1)。 O(n ²)
1) 交換i和j的內(nèi)容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n ²次 ）
sum++； （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) 2)
for (i=1;i<n;i++) {
y=y+1; //頻度是n-1
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; //頻度是(n-1)*(2n+1)=2n ²-n-1
}
　　　　f(n)=2n ²-n-1+(n-1)=2n ²-2 該程序的時(shí)間復(fù)雜度T(n)=O(n ²). O(n)
3)
a=0; b=1; //頻度：2
for (i=1;i<=n;i++) //頻度： n
{
s=a+b;　　　　//頻度： n-1
　b=a;　　　　　//頻度：n-1
a=s;　　　　　//頻度：n-1
}
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log ₂n )
4)
i=1; //頻度是1
　　 while (i<=n)
i=i*2; //頻度是f(n),
則：2 ^f(n)<=n;f(n)<=log ₂n 取最大值f(n)= log ₂n, T(n)=O(log ₂n ) O(n ³) 5)
for(i=0;i<n;i++) {
for(j=0;j<i;j++) {
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：當(dāng)i=m, j=k的時(shí)候,內(nèi)層循環(huán)的次數(shù)為k當(dāng)i=m時(shí), j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這里最內(nèi)循環(huán)共
進(jìn)行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環(huán)共進(jìn)行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6
所以時(shí)間復(fù)雜度為O(n ³). 我們還應(yīng)該區(qū)分算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最壞情況運(yùn)行時(shí)間是 O(n ²)，
但期望時(shí)間是 O(nlogn)。通過(guò)每次都仔細(xì) 地選擇基準(zhǔn)值，我們有可能把平方情況 (即O(n ²)情況)
的概率減小到幾乎等于 0。在實(shí)際中，精心實(shí)現(xiàn)的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時(shí)間運(yùn)行。
下面是一些常用的記法：訪問(wèn)數(shù)組中的元素是常數(shù)時(shí)間操作，或說(shuō)O(1)操作。一個(gè)算法如 果能在每個(gè)步驟去掉一半數(shù)據(jù)元素，
如二分檢索，通常它就取 O(logn)時(shí)間。用strcmp比較兩個(gè)具有n個(gè)字符的串需要O(n)時(shí)間。
常規(guī)的矩陣乘算法是O(n ³)，因?yàn)樗愠雒總€(gè)元素都需要將n對(duì) 元素相乘并加到一起，所有元素的個(gè)數(shù)是n ²。
指數(shù)時(shí)間算法通常來(lái)源于需要求出所有可能結(jié)果。例如，n個(gè)元 素的集合共有2n個(gè)子集,所以要求出
所有子集的算法將是O(2n)的。指數(shù)算法一般說(shuō)來(lái)是太復(fù)雜了，除非n的值非常小，因?yàn)?#xff0c;在 這個(gè)問(wèn)題
中增加一個(gè)元素就導(dǎo)致運(yùn)行時(shí)間加倍。不幸的是，確實(shí)有許多問(wèn)題 (如著名的“巡回售貨員問(wèn)題” )，
到目前為止找到的算法都是指數(shù)的。如果我們真的遇到這種情況，通常應(yīng)該用尋找近似最佳結(jié)果的算法替代之。

?二.空間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度(Space Complexity)是對(duì)一個(gè)算法在運(yùn)行過(guò)程中臨時(shí)占用存儲(chǔ)空間大小的量度。
一個(gè)算法在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)器上所占用的存儲(chǔ)空間，
包括程序代碼所占用的空間，輸入數(shù)據(jù)所占用的空間和輔助變量所占用的空間這三個(gè)方面。
算法的輸入輸出數(shù)據(jù)所占用的存儲(chǔ)空間是由要解決的問(wèn)題決定的，是通過(guò)參數(shù)表由調(diào)用函數(shù)傳遞而來(lái)的，
它不隨本算法的不同而改變。存儲(chǔ)算法本身所占用的存儲(chǔ)空間與算法書寫的長(zhǎng)短成正比，要壓縮這方面的存儲(chǔ)空間，
就必須編寫出較短的算法。算法在運(yùn)行過(guò)程中臨時(shí)占用的存儲(chǔ)空間隨算法的不同而異，有的算法只需要占用少量的臨時(shí)工作單元，
而且不隨問(wèn)題規(guī)模的大小而改變，我們稱這種算法是“就地"進(jìn)行的，是節(jié)省存儲(chǔ)的算法，如這些介紹過(guò)的幾個(gè)算法都是如此；
有的算法需要占用的臨時(shí)工作單元數(shù)與解決問(wèn)題的規(guī)模n有關(guān)，它隨著n的增大而增大，當(dāng)n較大時(shí)，將占用較多的存儲(chǔ)單元，
例如將在第九章介紹的快速排序和歸并排序算法就屬于這種情況。分析一個(gè)算法所占用的存儲(chǔ)空間要從各方面綜合考慮。如對(duì)于遞歸算法來(lái)說(shuō)，一般都比較簡(jiǎn)短，算法本身所占用的存儲(chǔ)空間較少，但運(yùn)行時(shí)需要一個(gè)附加堆棧，從而占用較多的臨時(shí)工作單元；若寫成非遞歸算法，一般可能比較長(zhǎng)，算法本身占用的存儲(chǔ)空間較多，但運(yùn)行時(shí)將可能需要較少的存儲(chǔ)單元。一個(gè)算法的空間復(fù)雜度只考慮在運(yùn)行過(guò)程中為局部變量分配的存儲(chǔ)空間的大小，它包括為參數(shù)表中形參變量分配的存儲(chǔ)空間和為在函數(shù)體中定義的局部變量分配的存儲(chǔ)空間兩個(gè)部分。若一個(gè)算法為遞歸算法，其空間復(fù)雜度為遞歸所使用的堆棧空間的大小，它等于一次調(diào)用所分配的臨時(shí)存儲(chǔ)空間的大小乘以被調(diào)用的次數(shù)(即為遞歸調(diào)用的次數(shù)加1，這個(gè)1表不開始進(jìn)行的一次非遞歸調(diào)用)。算法的空間復(fù)雜度一般也以數(shù)量級(jí)的形式給出。如當(dāng)一個(gè)算法的空間復(fù)雜度為一個(gè)常量，即不隨被處理數(shù)據(jù)量n的大小而改變時(shí)，可表示為O(1)；當(dāng)一個(gè)算法的空間復(fù)雜度與以2為底的n的對(duì)數(shù)成正比時(shí)，可表示為0(log ₂n)；當(dāng)一個(gè)算法的空I司復(fù)雜度與n成線性比例關(guān)系時(shí)，可表示為0(n).若形參為數(shù)組，則只需要為它分配一個(gè)存儲(chǔ)由實(shí)參傳送來(lái)的一個(gè)地址指針的空間，即一個(gè)機(jī)器字長(zhǎng)空間；若形參為引用方式，則也只需要為其分配存儲(chǔ)一個(gè)地址的空間，用它來(lái)存儲(chǔ)對(duì)應(yīng)實(shí)參變量的地址，以便由系統(tǒng)自動(dòng)引用實(shí)參變量。對(duì)于一個(gè)算法，其時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度往往是相互影響的。當(dāng)追求一個(gè)較好的時(shí)間復(fù)雜度時(shí)，可能會(huì)使空間復(fù)雜度的性能變差，即可能導(dǎo)致占用較多的存儲(chǔ)空間；反之，當(dāng)=i自求一個(gè)較好的空間復(fù)雜度時(shí)，可能會(huì)使時(shí)間復(fù)雜度的性能變差，即可能導(dǎo)致占用較長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間。另外，算法的所有性能之間都存在著或多或少的相互影響。因此，當(dāng)設(shè)計(jì)一個(gè)算法(特別是大型算法)時(shí)，要綜合考慮算法的各項(xiàng)性能，算法的使用頻率，算法處理的數(shù)據(jù)量的大小，算法描述語(yǔ)言的特性，算法運(yùn)行的機(jī)器系統(tǒng)環(huán)境等各方面因素，才能夠設(shè)計(jì)出比較好的算法。空間復(fù)雜度是程序運(yùn)行所以需要的額外消耗存儲(chǔ)空間,也用o()來(lái)表示比如插入排序的時(shí)間復(fù)雜度是o(n ²),空間復(fù)雜度是o(1)而一般的遞歸算法就要有o(n)的空間復(fù)雜度了,因?yàn)槊看芜f歸都要存儲(chǔ)返回信息一個(gè)算法的優(yōu)劣主要從算法的執(zhí)行時(shí)間和所需要占用的存儲(chǔ)空間兩個(gè)方面衡量，算法執(zhí)行時(shí)間的度量不是采用算法執(zhí)行的絕對(duì)時(shí)間來(lái)計(jì)算的，因?yàn)橐粋€(gè)算法在不同的機(jī)器上執(zhí)行所花的時(shí)間不一樣，在不同時(shí)刻也會(huì)由于計(jì)算機(jī)資源占用情況的不同，使得算法在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的時(shí)間也不一樣，所以對(duì)于算法的時(shí)間復(fù)雜性，采用算法執(zhí)行過(guò)程中其基本操作的執(zhí)行次數(shù)，稱為計(jì)算量來(lái)度量。算法中基本操作的執(zhí)行次數(shù)一般是與問(wèn)題規(guī)模有關(guān)的，對(duì)于結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n的數(shù)據(jù)處理問(wèn)題，用T(n)表示算法基本操作的執(zhí)行次數(shù).在評(píng)價(jià)算法的時(shí)間復(fù)雜性時(shí)，不考慮兩算法執(zhí)行次數(shù)之間的細(xì)小區(qū)別，而只關(guān)心算法的本質(zhì)差別:為此，引入一個(gè)所謂的O() 記號(hào)，則T1(n)=2n=O(n),T2(n)=n+1=O(n)。一個(gè)函數(shù)f(n)是O(g(n))的，則一定存在正常數(shù)c和m，使對(duì)所有的n>m，都滿足f(n)<c*g(n)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法的性能评价------空间复杂度和时间复杂度的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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