題目鏈接：

https://vjudge.net/problem/POJ-1201

題目大意：

一個整數集合Z有n個區間，每個區間有3個值，ai，bi，ci代表，在區間[ai,bi]上至少有ci個整數屬于集合Z，ci可以在區間內任意取不重復的點。
現在要滿足所有區間的約束條件，問最少可選多少個點。

Sample Input

5 3 7 3 8 10 3 6 8 1 1 3 1 10 11 1

Sample Output

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思路：

求最小的整數集合Z滿足| Z ∩ [ ai,? bi ] | >= ci。意思就是在區間[ai,bi]上至少有ci個整數屬于集合Z。

可以建模成一個差分約束系統。以輸入的測試數據為例進行分析：

設S[i]是集合Z中小于等于i的元素個數。那么就有以下不等式組：

(1)Z集合中范圍在[ai, bi]的整數個數至少為ci，也就相當于S[bi] - S[ai - 1] >= ci

　　根據差分約束系統中的三角不等式（d[v] - d[u] <=? Edge[u][v]）

　　上述不等式可以轉化成S[ai - 1] - S[bi] <= -ci ? ?? 邊：<bi, ai-1> 權值-ci

?　? 上述例子就有以下不等式組（1）

　　S2 - S7 <= -3

　　S7 - S10 <= -3

　　S5 - S8 <= -1

　　S0 - S3 <= -1

　　S9 - S11 <= -1

(2)根據實際情況，還有兩個約束條件

　　S[i] - S[i - 1] <= 1

　　S[i] - S[i - 1] >= 0，即S[i - 1] - S[i] <= 0

?

最終要求的是什么？

設所有區間右端點的最大值為mx，如該測試數據中mx = 11， 所有區間左端點的最小值為mn

如該測試數據中mn = 1， mn - 1 = 0

最終要求的是S[mx] - S[mn - 1]的最小值，也就是S[mx] - S[mn - 1] >= M（M的最大值）

也就是S[mn - 1] - S[mx] <= -M(-M的最小值)， 也就是點mx到點mn-1的最短路-M，答案求的是M

這里需要注意的是源點是mx，終點是mn-1。

所以進行bellman算法時，應該從mx出發，求出dist[mn - 1]。（dist數組保存的是從源點出發到各點的最短距離）

?

?

但是上述的約束條件太多，最多會達到3*50000條邊，全部轉化成邊不是個好方法，所以應該進行優化：

?

　　(1)用上述不等式組(1)進行建圖，源點到各個頂點最短路徑初始為0，因為Si - Smx <=0，所以源點到各個頂點的距離一定會小于等于0，

　　(2)用Bellman算法求出源點到各個頂點的最短路徑長度，每次循環時，判斷完約束條件(1)后，再判斷約束條件(2)和(3)

?

　　約束條件(2)的判斷

　　S[i] - S[i - 1] <= 1等效于S[i] - S[mx] <= S[i - 1] - S[mx] + 1

　　由于上述dist數組表示從源點出發到各點的最短距離，所以S[i] - S[mx]就是dist[i]

　　上述條件轉化成了dist[i] <= dist[i - 1] + 1

　　如果dist[i] > dist[i - 1] + 1, 那么修改dist[i] = dist[i - 1] + 1。

　　約束條件(3)的判斷

　　S[i - 1] <= S[i] 等效于S[i - 1] - S[mx] <= S[i] - S[mx]?

　　也就是dist[i - 1] <= dist[i]

　　如果dist[i - 1] > dist[i] 那就修改dist[i- 1] = dist[i]

?

1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<queue> 7 #include<stack> 8 #include<map> 9 #include<set> 10 #include<sstream> 11 #define MEM(a, b) memset(a, b, sizeof(a)); 12 using namespace std; 13 typedef long long ll; 14 const int maxn = 50000 + 10; 15 const int INF = 0x3f3f3f3f; 16 int T, n, m, cases, tot; 17 int d[maxn]; 18 struct edge 19 { 20 int u, v, w; 21 edge(){} 22 edge(int u, int v, int w):u(u), v(v), w(w){} 23 }; 24 edge a[maxn]; 25 int mx, mn;//mn左區間最小值，mx右區間最大值 26 void init() 27 { 28 tot = 0; 29 MEM(d, 0)//初始化源點0到各個頂點的距離,這里的d[mx]永遠是0，這就是源點 30 mx = 1, mn = INF; 31 } 32 void bellman() 33 { 34 bool update = 1; 35 while(update)//如果有不更新的時候，直接退出 36 { 37 update = 0; 38 for(int i = 0; i < n; i++)//Bellman算法的邊循環 39 { 40 int u = a[i].u, v = a[i].v, w = a[i].w; 41 if(d[v] > d[u] + w) 42 { 43 update = 1; 44 d[v] = d[u] + w; 45 } 46 } 47 48 //約束條件2的判斷 49 for(int i = mn; i <= mx; i++) 50 { 51 if(d[i] > d[i - 1] + 1) 52 { 53 update = 1; 54 d[i] = d[i - 1] + 1; 55 } 56 } 57 58 //約束條件3的判斷 59 for(int i = mx; i >= mn; i--) 60 { 61 if(d[i - 1] > d[i]) 62 { 63 update = 1; 64 d[i - 1] = d[i]; 65 } 66 } 67 } 68 } 69 int main() 70 { 71 while(cin >> n) 72 { 73 init(); 74 int u, v, w; 75 for(int i = 0; i < n; i++) 76 { 77 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 78 a[i] = edge(v, u - 1, -w);//建邊 79 mx = max(mx, v); 80 mn = min(mn, u); 81 } 82 //cout<<mx<<" "<<mn<<endl; 83 bellman(); 84 printf("%d\n", -d[mn - 1]); 85 } 86 return 0; 87 }

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/fzl194/p/8734451.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ-1201 Intervals---差分约束的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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