斯坦納樹

網上關于這玩意兒的資料不是很多

度娘的定義

斯坦納樹問題是組合優化問題，與最小生成樹相似，是最短網絡的一種。 最小生成樹是在給定的點集和邊中尋求最短網絡使所有點連通。 而最小斯坦納樹允許在給定點外增加額外的點，使生成的最短網絡開銷最小。

我個人認為這玩意兒應該是某一類沒有多項式解法的最小生成樹問題，然后可以用狀壓DP求解

直接從一道題目入手

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[WC2008]游覽計劃

鏈接

這應該算是斯坦納樹的板子題了

我們令$f[i][sta]$表示$i$號節點，與其他節點的聯通性為$sta$時的最小代價，這里的$sta$是一個二進制數，在它二進制下的每一位中，$0$表示不連通，$1$表示聯通

那么轉移的時候會有兩種情況

• 由子集轉移而來

方程為$$f[i][sta] = \min_{s \in sta}\{f[i][s] + f[i][\complement_ssta] - val[i]\}$$

后面的減是防止加重

這里在枚舉子集的時候有一個技巧

for(int s = sta; s; s = (s - 1) & sta)

這樣可以枚舉出sta的所有子集

• 由不含該節點的狀態轉移而來

?轉移方程為

其中$i$為新加入的節點

$$f[i][j] = \min\{f[k][j] + val[i]\}$$

大家看到這個方程有沒有一種很熟悉的感覺？

是不是很像三角形不等式？

因此，我們可以用SPFA進行這種轉移

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完整代碼

// luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> using namespace std; const int limit = 1050; const int INF = 1e9; inline int read() {char c = getchar(); int x = 0, f = 1;while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}return x * f; } #define MP(i,j) make_pair(i,j) #define se second #define fi first #define Pair pair<int,int> int N, M, tot = 0; int a[12][12], f[12][12][limit]; int xx[5] = {-1, +1, 0, 0}; int yy[5] = {0, 0, -1, +1}; int vis[12][12]; struct PRE {int x, y, S; }Pre[12][12][limit]; queue<Pair>q; void SPFA(int cur) {while(q.size() != 0) {Pair p = q.front();q.pop();vis[p.fi][p.se] = 0;for(int i = 0; i <4; i++) {int wx = p.fi + xx[i], wy = p.se + yy[i];if(wx < 1 || wx > N || wy < 1 || wy > M) continue;if(f[wx][wy][cur] > f[p.fi][p.se][cur] + a[wx][wy]) {f[wx][wy][cur] = f[p.fi][p.se][cur] + a[wx][wy];Pre[wx][wy][cur] = (PRE){p.fi, p.se, cur};if(!vis[wx][wy])vis[wx][wy] = 1, q.push(MP(wx,wy));}}} } void dfs(int x, int y, int now) {vis[x][y] = 1;PRE tmp = Pre[x][y][now];if(tmp.x == 0 && tmp.y == 0) return;dfs(tmp.x, tmp.y, tmp.S);if(tmp.x == x && tmp.y == y) dfs(tmp.x, tmp.y, now - tmp.S); } int main() {//freopen("a.in", "r", stdin);N = read(); M = read();memset(f, 0x3f, sizeof(f));for(int i = 1; i <= N; i++)for(int j = 1; j <= M; j++) {a[i][j] = read();if(a[i][j] == 0)f[i][j][1 << tot] = 0, tot++;}int limit = (1 << tot) - 1;for(int sta = 0; sta <= limit; sta++) {for(int i = 1; i<= N; i++)for(int j = 1; j <= M;j++) {for(int s = sta; s; s = (s - 1) & sta) {if(f[i][j][s] + f[i][j][sta - s] - a[i][j] < f[i][j][sta])f[i][j][sta] = f[i][j][s] + f[i][j][sta - s] - a[i][j],Pre[i][j][sta] = (PRE){i,j,s};}if(f[i][j][sta] < INF) q.push(MP(i,j)), vis[i][j] = 1;}SPFA(sta);}int ansx, ansy, flag = 0;for(int i = 1; i <= N && !flag; i++)for(int j = 1; j <= M; j++)if(!a[i][j]) {ansx = i, ansy = j; flag = 1; break;}printf("%d\n",f[ansx][ansy][limit]); memset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(ansx, ansy, limit);for(int i = 1; i <= N; i++, puts("")) {for(int j = 1; j <= M; j++) {if(a[i][j] == 0) putchar('x');else if(vis[i][j]) putchar('o');else putchar('_'); } } return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的斯坦纳树小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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