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動量梯度下降法 (Gradient Descent with Momentum)

還有一種算法叫做Momentum，或者叫做動量梯度下降法，運行速度幾乎總是快于標準的梯度下降算法，簡而言之，基本的想法就是計算梯度的指數加權平均數，并利用該梯度更新你的權重，在本視頻中，我們呢要一起拆解單句描述，看看你到底如何計算。

例如，如果你要優化成本函數，函數形狀如圖，紅點代表最小值的位置，假設你從這里（藍色點）開始梯度下降法，如果進行梯度下降法的一次迭代，無論是batch或mini-batch下降法，也許會指向這里，現在在橢圓的另一邊，計算下一步梯度下降，結果或許如此，然后再計算一步，再一步，計算下去，你會發現梯度下降法要很多計算步驟對吧？

慢慢擺動到最小值，這種上下波動減慢了梯度下降法的速度，你就無法使用更大的學習率，如果你要用較大的學習率（紫色箭頭），結果可能會偏離函數的范圍，為了避免擺動過大，你要用一個較小的學習率。

另一個看待問題的角度是，在縱軸上，你希望學習慢一點，因為你不想要這些擺動，但是在橫軸上，你希望加快學習，你希望快速從左向右移，移向最小值，移向紅點。所以使用動量梯度下降法，你需要做的是，在每次迭代中，確切來說在第 $t$ 次迭代的過程中，你會計算微分 $dW$ ， $db$ ，我會省略上標 $[l]$ ，你用現有的mini-batch計算 $dW，db$ 。如果你用batch梯度下降法，現在的mini-batch就是全部的batch，對于batch梯度下降法的效果是一樣的。如果現有的mini-batch就是整個訓練集，效果也不錯，你要做的是計算 $v_{dW}=\beta v_{dW}+(1?\beta )dW$ ，這跟我們之前的計算相似，也就是 $v=\beta v+(1?\beta ){\theta }_t$ ， $dW$ 的移動平均數，接著同樣地計算 $v_{db}$ ， $v_{db}=\beta v_{db}+(1?\beta )db$ ，然后重新賦值權重， $W:=W?\alpha v_{dW}$ ，同樣 $b:=b?\alpha v_{db}$ ，這樣就可以減緩梯度下降的幅度。

例如，在上幾個導數中，你會發現這些縱軸上的擺動平均值接近于零，所以在縱軸方向，你希望放慢一點，平均過程中，正負數相互抵消，所以平均值接近于零。但在橫軸方向，所有的微分都指向橫軸方向，因此橫軸方向的平均值仍然較大，因此用算法幾次迭代后，你發現動量梯度下降法，最終縱軸方向的擺動變小了，橫軸方向運動更快，因此你的算法走了一條更加直接的路徑，在抵達最小值的路上減少了擺動。

動量梯度下降法的一個本質，這對有些人而不是所有人有效，就是如果你要最小化碗狀函數，這是碗的形狀，我畫的不太好。

它們能夠最小化碗狀函數，這些微分項，想象它們為你從山上往下滾的一個球，提供了加速度，Momentum項相當于速度。

想象你有一個碗，你拿一個球，微分項給了這個球一個加速度，此時球正向山下滾，球因為加速度越滾越快，而因為 $\beta$ 稍小于1，表現出一些摩擦力，所以球不會無限加速下去，所以不像梯度下降法，每一步都獨立于之前的步驟，你的球可以向下滾，獲得動量，可以從碗向下加速獲得動量。我發現這個球從碗滾下的比喻，物理能力強的人接受得比較好，但不是所有人都能接受，如果球從碗中滾下這個比喻，你理解不了，別擔心。

最后我們來看具體如何計算，算法在此。

所以你有兩個超參數，學習率 $\alpha$ 以及參數 $\beta$ ， $\beta$ 控制著指數加權平均數。 $\beta$ 最常用的值是0.9，我們之前平均了過去十天的溫度，所以現在平均了前十次迭代的梯度。實際上 $\beta$ 為0.9時，效果不錯，你可以嘗試不同的值，可以做一些超參數的研究，不過0.9是很棒的魯棒數。那么關于偏差修正，所以你要拿 $v_{dW}$ 和 $v_{db}$ 除以 $1?{\beta }^t$ ，實際上人們不這么做，因為10次迭代之后，因為你的移動平均已經過了初始階段。實際中，在使用梯度下降法或動量梯度下降法時，人們不會受到偏差修正的困擾。當然 $v_{dW}$ 初始值是0，要注意到這是和 $dW$ 擁有相同維數的零矩陣，也就是跟 $W$ 擁有相同的維數， $v_{db}$ 的初始值也是向量零，所以和 $db$ 擁有相同的維數，也就是和 $b$ 是同一維數。

最后要說一點，如果你查閱了動量梯度下降法相關資料，你經常會看到一個被刪除了的專業詞匯， $1?\beta$ 被刪除了，最后得到的是 $v_{dW}=\beta v_{dW}+dW$ 。用紫色版本的結果就是，所以 $v_{dW}$ 縮小了 $1?\beta$ 倍，相當于乘以 $\frac{1}{1?\beta }$ ，所以你要用梯度下降最新值的話， $\alpha$ 要根據 $\frac{1}{1?\beta }$ 相應變化。實際上，二者效果都不錯，只會影響到學習率 $\alpha$ 的最佳值。我覺得這個公式用起來沒有那么自然，因為有一個影響，如果你最后要調整超參數 $\beta$ ，就會影響到 $v_{dW}$ 和 $v_{db}$ ，你也許還要修改學習率 $\alpha$ ，所以我更喜歡左邊的公式，而不是刪去了 $1?\beta$ 的這個公式，所以我更傾向于使用左邊的公式，也就是有 $1?\beta$ 的這個公式，但是兩個公式都將 $\beta$ 設置為0.9，是超參數的常見選擇，只是在這兩個公式中，學習率 $\alpha$ 的調整會有所不同。

所以這就是動量梯度下降法，這個算法肯定要好于沒有Momentum的梯度下降算法，我們還可以做別的事情來加快學習算法，我們將在接下來的視頻中探討這些問題。

課程PPT

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.6 动量梯度下降法-深度学习第二课《改善深层神经网络》-Stanford吴恩达教授的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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