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2.5 指數(shù)加權(quán)平均的偏差修正	回到目錄	2.7 RMSprop

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動(dòng)量梯度下降法 (Gradient Descent with Momentum)

還有一種算法叫做Momentum，或者叫做動(dòng)量梯度下降法，運(yùn)行速度幾乎總是快于標(biāo)準(zhǔn)的梯度下降算法，簡(jiǎn)而言之，基本的想法就是計(jì)算梯度的指數(shù)加權(quán)平均數(shù)，并利用該梯度更新你的權(quán)重，在本視頻中，我們呢要一起拆解單句描述，看看你到底如何計(jì)算。

例如，如果你要優(yōu)化成本函數(shù)，函數(shù)形狀如圖，紅點(diǎn)代表最小值的位置，假設(shè)你從這里（藍(lán)色點(diǎn)）開(kāi)始梯度下降法，如果進(jìn)行梯度下降法的一次迭代，無(wú)論是batch或mini-batch下降法，也許會(huì)指向這里，現(xiàn)在在橢圓的另一邊，計(jì)算下一步梯度下降，結(jié)果或許如此，然后再計(jì)算一步，再一步，計(jì)算下去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)梯度下降法要很多計(jì)算步驟對(duì)吧？

慢慢擺動(dòng)到最小值，這種上下波動(dòng)減慢了梯度下降法的速度，你就無(wú)法使用更大的學(xué)習(xí)率，如果你要用較大的學(xué)習(xí)率（紫色箭頭），結(jié)果可能會(huì)偏離函數(shù)的范圍，為了避免擺動(dòng)過(guò)大，你要用一個(gè)較小的學(xué)習(xí)率。

另一個(gè)看待問(wèn)題的角度是，在縱軸上，你希望學(xué)習(xí)慢一點(diǎn)，因?yàn)槟悴幌胍@些擺動(dòng)，但是在橫軸上，你希望加快學(xué)習(xí)，你希望快速?gòu)淖笙蛴乙?#xff0c;移向最小值，移向紅點(diǎn)。所以使用動(dòng)量梯度下降法，你需要做的是，在每次迭代中，確切來(lái)說(shuō)在第 $t$ 次迭代的過(guò)程中，你會(huì)計(jì)算微分 $dW$ ， $db$ ，我會(huì)省略上標(biāo) $[l]$ ，你用現(xiàn)有的mini-batch計(jì)算 $dW，db$ 。如果你用batch梯度下降法，現(xiàn)在的mini-batch就是全部的batch，對(duì)于batch梯度下降法的效果是一樣的。如果現(xiàn)有的mini-batch就是整個(gè)訓(xùn)練集，效果也不錯(cuò)，你要做的是計(jì)算 $v_{dW}=\beta v_{dW}+(1?\beta )dW$ ，這跟我們之前的計(jì)算相似，也就是 $v=\beta v+(1?\beta ){\theta }_t$ ， $dW$ 的移動(dòng)平均數(shù)，接著同樣地計(jì)算 $v_{db}$ ， $v_{db}=\beta v_{db}+(1?\beta )db$ ，然后重新賦值權(quán)重， $W:=W?\alpha v_{dW}$ ，同樣 $b:=b?\alpha v_{db}$ ，這樣就可以減緩梯度下降的幅度。

例如，在上幾個(gè)導(dǎo)數(shù)中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些縱軸上的擺動(dòng)平均值接近于零，所以在縱軸方向，你希望放慢一點(diǎn)，平均過(guò)程中，正負(fù)數(shù)相互抵消，所以平均值接近于零。但在橫軸方向，所有的微分都指向橫軸方向，因此橫軸方向的平均值仍然較大，因此用算法幾次迭代后，你發(fā)現(xiàn)動(dòng)量梯度下降法，最終縱軸方向的擺動(dòng)變小了，橫軸方向運(yùn)動(dòng)更快，因此你的算法走了一條更加直接的路徑，在抵達(dá)最小值的路上減少了擺動(dòng)。

動(dòng)量梯度下降法的一個(gè)本質(zhì)，這對(duì)有些人而不是所有人有效，就是如果你要最小化碗狀函數(shù)，這是碗的形狀，我畫(huà)的不太好。

它們能夠最小化碗狀函數(shù)，這些微分項(xiàng)，想象它們?yōu)槟銖纳缴贤聺L的一個(gè)球，提供了加速度，Momentum項(xiàng)相當(dāng)于速度。

想象你有一個(gè)碗，你拿一個(gè)球，微分項(xiàng)給了這個(gè)球一個(gè)加速度，此時(shí)球正向山下滾，球因?yàn)榧铀俣仍綕L越快，而因?yàn)?$\beta$ 稍小于1，表現(xiàn)出一些摩擦力，所以球不會(huì)無(wú)限加速下去，所以不像梯度下降法，每一步都獨(dú)立于之前的步驟，你的球可以向下滾，獲得動(dòng)量，可以從碗向下加速獲得動(dòng)量。我發(fā)現(xiàn)這個(gè)球從碗滾下的比喻，物理能力強(qiáng)的人接受得比較好，但不是所有人都能接受，如果球從碗中滾下這個(gè)比喻，你理解不了，別擔(dān)心。

最后我們來(lái)看具體如何計(jì)算，算法在此。

所以你有兩個(gè)超參數(shù)，學(xué)習(xí)率 $\alpha$ 以及參數(shù) $\beta$ ， $\beta$ 控制著指數(shù)加權(quán)平均數(shù)。 $\beta$ 最常用的值是0.9，我們之前平均了過(guò)去十天的溫度，所以現(xiàn)在平均了前十次迭代的梯度。實(shí)際上 $\beta$ 為0.9時(shí)，效果不錯(cuò)，你可以嘗試不同的值，可以做一些超參數(shù)的研究，不過(guò)0.9是很棒的魯棒數(shù)。那么關(guān)于偏差修正，所以你要拿 $v_{dW}$ 和 $v_{db}$ 除以 $1?{\beta }^t$ ，實(shí)際上人們不這么做，因?yàn)?0次迭代之后，因?yàn)槟愕囊苿?dòng)平均已經(jīng)過(guò)了初始階段。實(shí)際中，在使用梯度下降法或動(dòng)量梯度下降法時(shí)，人們不會(huì)受到偏差修正的困擾。當(dāng)然 $v_{dW}$ 初始值是0，要注意到這是和 $dW$ 擁有相同維數(shù)的零矩陣，也就是跟 $W$ 擁有相同的維數(shù)， $v_{db}$ 的初始值也是向量零，所以和 $db$ 擁有相同的維數(shù)，也就是和 $b$ 是同一維數(shù)。

最后要說(shuō)一點(diǎn)，如果你查閱了動(dòng)量梯度下降法相關(guān)資料，你經(jīng)常會(huì)看到一個(gè)被刪除了的專(zhuān)業(yè)詞匯， $1?\beta$ 被刪除了，最后得到的是 $v_{dW}=\beta v_{dW}+dW$ 。用紫色版本的結(jié)果就是，所以 $v_{dW}$ 縮小了 $1?\beta$ 倍，相當(dāng)于乘以 $\frac{1}{1?\beta }$ ，所以你要用梯度下降最新值的話(huà)， $\alpha$ 要根據(jù) $\frac{1}{1?\beta }$ 相應(yīng)變化。實(shí)際上，二者效果都不錯(cuò)，只會(huì)影響到學(xué)習(xí)率 $\alpha$ 的最佳值。我覺(jué)得這個(gè)公式用起來(lái)沒(méi)有那么自然，因?yàn)橛幸粋€(gè)影響，如果你最后要調(diào)整超參數(shù) $\beta$ ，就會(huì)影響到 $v_{dW}$ 和 $v_{db}$ ，你也許還要修改學(xué)習(xí)率 $\alpha$ ，所以我更喜歡左邊的公式，而不是刪去了 $1?\beta$ 的這個(gè)公式，所以我更傾向于使用左邊的公式，也就是有 $1?\beta$ 的這個(gè)公式，但是兩個(gè)公式都將 $\beta$ 設(shè)置為0.9，是超參數(shù)的常見(jiàn)選擇，只是在這兩個(gè)公式中，學(xué)習(xí)率 $\alpha$ 的調(diào)整會(huì)有所不同。

所以這就是動(dòng)量梯度下降法，這個(gè)算法肯定要好于沒(méi)有Momentum的梯度下降算法，我們還可以做別的事情來(lái)加快學(xué)習(xí)算法，我們將在接下來(lái)的視頻中探討這些問(wèn)題。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2.6 动量梯度下降法-深度学习第二课《改善深层神经网络》-Stanford吴恩达教授的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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