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第4章-平穩過程-《隨機過程》方兆本

• • 4.1 定義和例子
  • • • • 定義4.1 嚴平穩過程
        • 定義4.2 寬平穩隨機過程
        • 定義4.3 高斯過程
        • 定義4.4 周期平穩過程
  • 4.2 遍歷性定理
  • • • • 定義4.5 均值 / 協方差函數有遍歷性
        • 定理4.1 均值遍歷性定理
        • 定理4.2 協方差函數遍歷性定理
        • 定理4.3
  • 4.3 平穩過程的協方差函數和功率譜密度
  • • 4.3.1 協方差函數
    • 4.3.2 幾個常見隨機信號的協方差函數
    • 4.3.3 功率譜密度
  • 4.4 平穩序列的預報
  • • 4.4.1 一般預報理論
    • 4.4.2 平穩序列的預報

4.1 定義和例子

定義4.1 嚴平穩過程

設 $X=\{X(t),t\in T\}$ 為一隨機過程，若對任意正整數 $k$ 及 $T$ 中任意 $k$ 個時刻 $t_1<t_2<?<t_k$，及 $T$ 中的 $h$，有
$$\{X(t_1),?,X(t_k)\}\stackrel{d}{=}X(t_1+h),?,X(t_k+h)$$

則隨機過程 $X$ 稱為嚴平穩過程。這里 $“d”$ 表示等式兩邊 $k$ 維隨機向量的分布相同。

定義4.2 寬平穩隨機過程

設 $X=\{X(t),t\in T\}$ 為一實值隨機過程，如果對 $?t\in T,E{X}^2(t)<\infty ,EX(t)=m$ 以及協方差函數 $E(X(t)?m)(X(s)?m)$ 僅與 $t?s$ 有關，則稱 $X$ 為寬平穩隨機過程。

定義4.3 高斯過程

設 $G=\{G(t),?\infty <t<+\infty \}$ 為一隨機過程，如果對任一正整數 $k$ 以及 $k$ 個時刻 $t_1\le t_2\le ?\le t_k$，$(G(t_1),G(t_2),?,G(t_k))$ 的聯合分布為 $k$ 維正態分布，則稱 $G$ 為高斯 (Gauss) 過程。

定義4.4 周期平穩過程

設 $X=\{X(t),t\in T\}$ 為平穩過程，如果存在正常數 $\kappa$ 使得
$$X(t+\kappa )=X(t)$$

則稱 $X$ 為周期平穩過程，$\kappa$ 為過程的周期。

如果 $X$ 是周期平穩過程，則其協方差函數也是周期函數，且與過程有相同的周期。這是由于
$$\begin{gathered} R(\tau +\kappa )=E(X(t+\tau +\kappa )?m)(X(t)?m) \\ =E(X(t+\tau )?m)(X(t)?m) \\ =R(\tau ) \end{gathered}$$

4.2 遍歷性定理

定義4.5 均值 / 協方差函數有遍歷性

定理4.1 均值遍歷性定理

定理4.2 協方差函數遍歷性定理

定理4.3

4.3 平穩過程的協方差函數和功率譜密度

4.3.1 協方差函數

4.3.2 幾個常見隨機信號的協方差函數

4.3.3 功率譜密度

4.4 平穩序列的預報

4.4.1 一般預報理論

4.4.2 平穩序列的預報

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第4章-平稳过程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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