【控制】傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导
傅里葉系列（二）傅里葉變換的推導
我們先把傅里葉級數轉換為指數形式：
三角函數形式：
f(t)=a02+∑n=1∞[ancos?(nωt)+bnsin?(nωt)]（1）f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t)] （1）f(t)=2a0??+n=1∑∞?[an?cos(nωt)+bn?sin(nωt)]（1）
a0=2T∫t0t0+Tf(t)dt（2）a_0 = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T}f(t) dt （2）a0?=T2?∫t0?t0?+T?f(t)dt（2）
an=2T∫t0t0+Tf(t)cos?(nωt)dt（3）a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos(n \omega t) dt （3）an?=T2?∫t0?t0?+T?f(t)cos(nωt)dt（3）
an=2T∫t0t0+Tf(t)sin?(nωt)dt（4）a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin(n \omega t) dt （4）an?=T2?∫t0?t0?+T?f(t)sin(nωt)dt（4）
代入歐拉公式：
eiθ=cos?(θ)+isin?(θ)e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)eiθ=cos(θ)+isin(θ)
可以變形為：
cos?(θ)=eiθ+e?iθ2\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}cos(θ)=2eiθ+e?iθ?
sin?(θ)=eiθ?e?iθ2i=?i?eiθ?e?iθ2\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = -i \cdot \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}sin(θ)=2ieiθ?e?iθ?=?i?2eiθ?e?iθ?
將 sin?(θ)、cos?(θ)\sin(\theta)、\cos(\theta)sin(θ)、cos(θ) 代入傅里葉級數求得：
Ref: 傅里葉系列（二）傅里葉變換的推導
總結
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