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《最優控制理論與系統》-胡壽松老師-第5章-線性最優狀態調節器

• 第5章 線性最優狀態調節器
• • 5.1 線性二次型問題
  • 5.2 狀態調節器
  • • 5.2.1 有限時間狀態調節器
    • • • 問題5-1
      • （1）最優解的充分必要條件
      • • 定理5-1
      • （2）黎卡提方程解的若干性質
      • （3）最優控制解的存在性與唯一性
      • • 定理5-2
    • 5.2.2 無限時間狀態調節器
    • • （1）無限時間時變狀態調節器
      • • 問題5-2
        • 定理5-3
      • （2）無限時間定常狀態調節器
      • • 問題5-3
        • 定理5-4
    • 5.2.3 最優調節系統的漸進穩定性
  • 5.3 具有給定穩定度的狀態調節器
  • 5.4 逆最優調節器
  • 5.5 離散狀態調節器

第5章 線性最優狀態調節器

線性二次型問題的最優解具有統一的解析表達式

線性二次型最優控制的基本內容可以分為：最優狀態調節、最優輸出調節和最優跟蹤。

可以證明，最優輸出調節問題和最優跟蹤問題都可以化為最優狀態調節問題。

5.1 線性二次型問題

5.2 狀態調節器

5.2.1 有限時間狀態調節器

問題5-1

線性時變系統狀態方程為
$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t_0)=x_0$$

性能指標
$$J=\frac{1}{2}{x}^T(t_f)Fx(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[x^T(t)Q(t)x(t)+u^T(t)R(t)u(t)]dt$$

（1）最優解的充分必要條件

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定理5-1

對于最優調節器問題5-1，最優控制的充要條件是
$$u^{?}(t)=?R^{?1}(t)B^T(t)P(t)x(t)$$

最優性能指標為
$$J^{?}=\frac{1}{2}{x}^T(t_0)P(t_0)x(t_0)$$

式中 $P(t)$ 為對稱非負矩陣，滿足如下黎卡提矩陣微分方程
$$?\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)?P(t)B(t)R^{?1}(t)B^T(t)P(t)+Q(t)$$

邊界條件為
$$P(t_f)=F$$

最優軌線 $x^{?}(t)$ 是下列線性向量微分方程的解
$$\dot{x}(t)=[A(t)?B(t)R^{?1}(t)B^T(t)P(t)]x(t),x(t_0)=x_0$$

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（2）黎卡提方程解的若干性質

（3）最優控制解的存在性與唯一性

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定理5-2

對于最優調節器問題5-1，若 $t_f$ 有限，則定理5-1給出的最優控制 $u^{?}(t)$ 存在且唯一。

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5.2.2 無限時間狀態調節器

（1）無限時間時變狀態調節器

問題5-2

線性時變系統狀態方程為
$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t_0)=x_0$$

性能指標
$$J=\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{\infty }[x^T(t)Q(t)x(t)+u^T(t)R(t)u(t)]dt$$

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定理5-3

對于無限時間時變狀態調節器問題5-2，若陣對 $\{A(t),B(t)\}$ 完全可控，則存在唯一的最優控制
$$u^{?}(t)=?R^{?1}(t)B^T(t)\bar{P}(t)x(t)$$

最優性能指標為
$$J^{?}=\frac{1}{2}{x}^T(t_0)\bar{P}(t_0)x(t_0)$$

式中 $$\bar{P}(t)=\underset{t_f\to \infty }{\lim }P(t)$$

是對稱非負的，而 $P(t)$ 是如下黎卡提方程
$$?\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)?P(t)B(t)R^{?1}(t)B^T(t)P(t)+Q(t)$$

及其邊界條件
$$P(t_f)=0$$

的唯一解。

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（2）無限時間定常狀態調節器

問題5-3

線性定常系統狀態方程為
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0$$

性能指標
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }[x^T(t)Qx(t)+u^T(t)Ru(t)]dt$$

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定理5-4

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5.2.3 最優調節系統的漸進穩定性

閉環系統
$$\dot{x}(t)=(A?B{R}^{?1}{B}^T\bar{P})x(t),x(0)=x_0$$

為漸進穩定的最優調節系統，$x^T(t)\bar{P}x(t)$ 為一個李雅普諾夫函數。

5.3 具有給定穩定度的狀態調節器

5.4 逆最優調節器

5.5 離散狀態調節器

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】《最优控制理论与系统》-胡寿松老师-第5章-线性最优状态调节器的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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