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【控制】麦克纳姆轮 Mecanum 小车模型分析

發(fā)布時(shí)間：2025/4/5 编程问答 51 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【控制】麦克纳姆轮 Mecanum 小车模型分析小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

簡介
單個(gè)麥輪受力分析
單個(gè)麥輪速度分析
正運(yùn)動學(xué)
逆運(yùn)動學(xué)
附
Ref：

簡介

移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型決定了如何將車輪速度映射到機(jī)器人的本體速度，而動力學(xué)模型則決定著如何將車輪扭矩映射到機(jī)器人的加速度。

運(yùn)動學(xué)建模中的兩個(gè)重要問題：

車輪必須以什么速度行駛，才能達(dá)到給定的期望底盤速度

q˙\dot{q}

？

考慮到各個(gè)車輪行駛速度的極限，底盤速度的極限是多少？

首先熟悉一下麥輪的移動方式。如上圖所示，為麥輪常見的三種移動方式（向前，平行，斜向上）。

單個(gè)麥輪受力分析

首先說明一點(diǎn)，下圖為麥輪與地面接觸平面的截圖，而俯視圖中棍子方向剛好相差 90 度。如下圖與地面接觸時(shí)棍子為斜向左上，那么俯視圖中看到的則是棍子方向斜向右上。

當(dāng)麥輪前向轉(zhuǎn)動時(shí)，棍子被動與地面接觸，而棍子與地面接觸可理想化視為點(diǎn)接觸，該接觸點(diǎn)在“碰到”地面瞬間會受到其運(yùn)動方向相反的作用力（和普通輪胎分析相似），接觸點(diǎn)的“運(yùn)動方向”為正向后，所以摩擦力方向?yàn)檎蚯? $F_d$ 。

將摩擦力 $F_d$ 沿著垂直和平行于棍子軸線方向進(jìn)行力分解，由于棍子是被動輪，因此會受到垂直于輪轂軸線的分力 $F_v$ 作用而發(fā)生被動轉(zhuǎn)動，也說明分力 $F_v$ 是滾動摩擦力，對棍子的磨損較大。而平行于輪轂軸線的分力 $F_p$ 也會迫使棍子運(yùn)動，只不過是主動運(yùn)動（棍子被軸線兩側(cè)輪轂機(jī)械限位），所以分力 $F_p$ 是靜摩擦。

總結(jié)下來，地面作用于棍子的摩擦力分解為滾動摩擦力和靜摩擦力，滾動摩擦力促使輥?zhàn)愚D(zhuǎn)動，屬于無效運(yùn)動：靜摩擦力促使輥?zhàn)酉鄬Φ孛孢\(yùn)動（類似于普通橡膠輪胎運(yùn)動情況），而銀子被輪教“卡住”因而帶動整個(gè)麥輪沿著輥?zhàn)虞S線運(yùn)動。

進(jìn)一步總結(jié)：電機(jī)輸入輪轂的扭矩，一部分被棍子自轉(zhuǎn)“浪費(fèi)掉”，另一部分形成靜摩擦驅(qū)動麥輪整體運(yùn)動。單個(gè)麥輪實(shí)際的（受力）運(yùn)動方向?yàn)楣髯虞S向方向，因此改變棍子軸線與輪轂軸線的夾角，就可以改變麥輪實(shí)際的（受力）運(yùn)動方向。不過常見的麥輪，棍子與輪轂軸線的夾角均為 45 度。

單個(gè)麥輪速度分析

接下來分析棍子外側(cè)與地面接觸點(diǎn)的線速度 $VωV_\omega$ 和平行于棍子軸線的速度 $V_p$ 之間的關(guān)系。

需要理解的一個(gè)問題是：平行于棍子軸線的速度 $V_p$ 是怎么產(chǎn)生的？

由于麥輪是由電機(jī)驅(qū)動，假如麥輪懸空未與地面接觸（棍子未繞棍子軸線轉(zhuǎn)動），則棍子外側(cè)速度方向與麥輪平行，其大小為
$Vω=ω?rV_\omega = \omega \cdot r$

其中， $ω\omega$ 表示電機(jī)轉(zhuǎn)動角速度， $r$ 表示麥輪有效半徑。

但是當(dāng)麥輪與地面接觸后，情況則會發(fā)生變化：摩擦力會使棍子繞軸線轉(zhuǎn)動，電機(jī)扭矩提供的主動力則會產(chǎn)生分解，而有效轉(zhuǎn)換的靜摩擦力是分力 $F_p$ ，也就是分力 $F_p$ 是促使麥輪平臺有效運(yùn)動的力，對應(yīng)速度分解也是一個(gè)道理。可以理解為加入只有一個(gè)麥輪在地面運(yùn)動，當(dāng)電機(jī)以速度 $VωV_\omega$ 轉(zhuǎn)動，那么麥輪將自動適應(yīng)以某一速度 $V_p$ 繞自身軸線被動旋轉(zhuǎn)，所以平行于棍子軸線的分速度 $V_p$ 與電機(jī)轉(zhuǎn)速的關(guān)系可表示為
$Vp=Vω?cos?(45°)=ω?r?cos?(45°)V_p = V_\omega \cdot \cos(45\degree) = \omega \cdot r \cdot \cos(45\degree)$

其中， $45°45\degree$ 表示棍子軸線與輪轂軸線的夾角，可見改變該夾角便可改變上式的比例關(guān)系。

正運(yùn)動學(xué)

針對麥輪建立機(jī)體坐標(biāo)系 body coordinate $S_b$ 。

正運(yùn)動學(xué)模型（forward kinematic model）將得到一系列公式，讓我們可以通過四個(gè)輪子的速度，計(jì)算出底盤的運(yùn)動狀態(tài)。

結(jié)合上述單個(gè)麥輪的分析可知，麥輪以 $Vω1V_{\omega1}$ 的線速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，產(chǎn)生有效的分速度 $V_{p1}$ 方向?yàn)槠叫杏诠髯臃较?#xff08;上圖左圖）。分速度 $V_{p1}$ 針對坐標(biāo)系 $S_b$ 進(jìn)行正交分解（上圖右圖），可以分別產(chǎn)生在 $X$ 軸和 $Y$ 軸的分速度 $V_{p1x}$ 和 $V_{p1y}$ 。其他三個(gè)輪子也會產(chǎn)生同樣的分解。

首先針對 $Y$ 軸，我們不難得到
$V_{Yb} = V_{p1y} + V_{p2y} + V_{p3y} + V_{p4y}$

再考慮 $X$ 軸，我們可以得到
$V_{Xb} = V_{p1x} - V_{p2x} + V_{p3x} - V_{p4x}$

關(guān)于 $X$ 和 $Y$ 軸方向比較好理解，難得是麥輪移動對車身旋轉(zhuǎn)方向 $ωb\omega_b$ 的影響。接下來我們重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)。

如上圖所示，這里做了簡化，假設(shè)車身機(jī)械中心到麥輪機(jī)械中心的距離為 $a + b$ ，麥輪在連線的垂線方向的線速度為 $ω?r\omega \cdot r$ （即藍(lán)線方向與車身與麥輪連線垂直），那么我們就有
$ωb?(a+b)=ω?r\omega_b \cdot (a+b) = \omega \cdot r$

而其他三個(gè)輪子同樣具有此種關(guān)系，同時(shí)每個(gè)輪子對車身的影響具有可加性。因此我們可以得到
$ωb?(a+b)=?ω1?r?ω2?r+ω3?r+ω4?r\omega_b \cdot (a+b) = -\omega_1 \cdot r - \omega_2 \cdot r + \omega_3 \cdot r + \omega_4 \cdot r$

綜上所述，假設(shè)四個(gè)輪子的角速度大小分別為 $ωM1,ωM2,ωM3,ωM4\omega_{M1}, \omega_{M2}, \omega_{M3}, \omega_{M4}$ ，輪子半徑相等為 $r$ ，那么有各個(gè)輪子的線速度為 $vM1=ωM1?rv_{M1} = \omega_{M1}*r$ 。

$[vM1vM2vM3vM4]=[ωM1?rωM2?rωM3?rωM4?r]\left[\begin{matrix} v_{M1} \\ v_{M2} \\ v_{M3} \\ v_{M4} \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \omega_{M1} \cdot r \\ \omega_{M2} \cdot r \\ \omega_{M3} \cdot r \\ \omega_{M4} \cdot r \\ \end{matrix}\right]$

整理后，有如下正運(yùn)動學(xué)模型（這是簡化后的）：

$[ωbzvbxvby]=[?1(a+b)?1(a+b)1(a+b)1(a+b)1?11?11111][ωM1?rωM2?rωM3?rωM4?r]\left[\begin{matrix} \omega_{bz} \\ v_{bx} \\ v_{by} \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} -\frac{1}{(a+b)} & -\frac{1}{(a+b)} & \frac{1}{(a+b)} & \frac{1}{(a+b)} \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \omega_{M1} \cdot r \\ \omega_{M2} \cdot r \\ \omega_{M3} \cdot r \\ \omega_{M4} \cdot r \\ \end{matrix}\right]$

逆運(yùn)動學(xué)

逆運(yùn)動學(xué)模型（inverse kinematic model）得到的公式則是可以根據(jù)底盤的運(yùn)動狀態(tài)解算出四個(gè)輪子的速度。

直接通過矩陣計(jì)算即可得到。

由 4 個(gè)麥克納姆輪組成的移動機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)模型為
$[ωM1?rωM2?rωM3?rωM4?r]=[?a?b11?a?b?11a+b11a+b?11][ωbzvbxvby]\left[\begin{matrix} \omega_{M1} \cdot r \\ \omega_{M2} \cdot r \\ \omega_{M3} \cdot r \\ \omega_{M4} \cdot r \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -a-b & 1 & 1 \\ -a-b & -1 & 1 \\ a+b & 1 & 1 \\ a+b & -1 & 1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \omega_{bz} \\ v_{bx} \\ v_{by} \\ \end{matrix}\right]$

其中 $ωMi,i=1,2,3,4\omega_{Mi}, i = 1,2,3,4$ 為輪子的驅(qū)動角速度， $r$ 為輪子半徑。

附

附一下自己在推導(dǎo)時(shí)所制作的示意圖

自己設(shè)計(jì)的麥輪小車

Ref：

技術(shù)分享 | 淺談麥克納姆輪的運(yùn)動方式

淺談麥克納姆輪全向移動平臺之——運(yùn)動學(xué)

麥克納姆輪（Mecanum Wheel）運(yùn)動學(xué)分析

麥克納姆輪運(yùn)動特性分析（圖片版）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】麦克纳姆轮 Mecanum 小车模型分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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