java fft 频谱算法_快速傅里叶变换（FFT）算法原理及代码解析
FFT與DFT關系：
快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform)是離散傅里葉(DFT)變換的一種快速算法，簡稱FFT，通過FFT可以將一個信號從時域變換到頻域；FFT(快速傅里葉變換)其本質(zhì)就是DFT，只不過可以快速的計算出DFT結果，它只是傅立葉變換算法實現(xiàn)過程的一種改進。
要弄懂FFT，必須先弄懂DFT，DFT(DiscreteFourier Transform) 離散傅里葉變換的縮寫，咱們先來簡單討論一下DFT。DFT(FFT)的作用:可以將信號從時域變換到頻域，而且時域和頻域都是離散的，通俗的說，可以求出一個信號由哪些正弦波疊加而成，求出的結果就是這些正弦波的幅度和相位。
DFT的公式：
其中X(k)表示DFT變換后的數(shù)據(jù)，x(n)為采樣的模擬信號,公式中的x(n)可以為復信號，實際當中x(n)都是實信號，即虛部為0,此時公式可以展開為：
那么，對于一個 的序列進行不斷分解，就可以得出如下所謂的蝶形圖：
FFT處理蝶形運算
蝶形運算的規(guī)律：同一級中所有蝶形的輸入點在同一豎直線上，意味著我們可以按級來運算，對于M級的蝶形，編個M次循環(huán)就好了；所有數(shù)據(jù)點在運算后不會竄位，即計算后可以將結果存入原來的地址空間。
每級N/2個蝶都需要用到系數(shù)WN，這里稱它為旋轉因子。我們來觀察旋轉因子WN的規(guī)律。以8點的蝶形圖為例：
可見，第L級的旋轉因子為：
可以看到，每個蝶的兩個輸入點下標跨度是不一樣的。比如第一級中是相鄰兩個數(shù)據(jù)作蝶運算，第二級中是兩個輸入點隔開一個點，而第三級隔開三個點。不難找到規(guī)律：第L級中，第二個輸入點的坐標是第一個點的坐標+space，space=Math.Pow(2, L)=num。
FFT的算法是寫一個三重循環(huán)：第一重循環(huán)對每一級運算(每級含num=Math.Pow(2, L)個蝶形)；
第二重對每一個旋轉因子對應的蝶運算， 那么有幾個蝶呢？很簡單，每級都應該有N/2個蝶，而每個因子對應N/2 / num個蝶；
第三重循環(huán)對每個蝶進行計算，需要注意的一是循環(huán)下標起始點的位置，二是每次計算需要申明臨時變量來保存輸入數(shù)據(jù)點。
實現(xiàn)代碼：
FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現(xiàn)大規(guī)模的變換，降低了運算要求，提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算，它們完全是等效的。
傅里葉變換的C語言編程
對于快速傅里葉變換FFT，第一個要解決的問題就是碼位倒序。假設一個N點的輸入序列，那么它的序號二進制數(shù)位數(shù)就是t=log2N。碼位倒序要解決兩個問題：將t位二進制數(shù)倒序;
將倒序后的兩個存儲單元進行交換。如果輸入序列的自然順序號i用二進制數(shù)表示，例如若最大序號為15，即用4位就可表示n3n2n1n0，則其倒序后j對應的二進制數(shù)就是n0n1n2n3。
代碼如下：
復數(shù)類型定義及其運算
#define N 64 //64點
#define log2N 6 //log2N=6
/*復數(shù)類型*/
typedef struct
{
float real;
float img;
}complex;
complex xdata x[N]; //輸入序列
/*復數(shù)加法*/
complex add(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real+b.real;
c.img=a.img+b.img;
return c;
}
/*復數(shù)減法*/
complex sub(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real-b.real;
c.img=a.img-b.img;
return c;
}
/*復數(shù)乘法*/
complex mul(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;
c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;
return c;
}
/***碼位倒序函數(shù)***/
void Reverse(void)
{
unsigned int i,j,k;
unsigned int t;
complex temp;//臨時交換變量
for(i=0;i
{
k=i;//當前第i個序號
j=0;//存儲倒序后的序號，先初始化為0
for(t=0;t
{
j<>
j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位
k>>=1;//k右移一位，次低位變?yōu)樽畹臀?/p>
}
if(j>i)//如果倒序后大于原序數(shù)，就將兩個存儲單元進行交換(判斷j>i是為了防止重復交換)
{
temp=x;
x=x[j];
x[j]=temp;
}
}
}
總結：
FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。
總結
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