??????冪律是說節(jié)點具有的連線數(shù)和這樣的節(jié)點數(shù)目乘積是一個定值，也就是幾何平均（對各變量值的連乘積開項數(shù)次方根）是定值。

例：有10000個連線的大節(jié)點有10個，有1000個連線的中節(jié)點有100個，100個連線的小節(jié)點有1000個，在對數(shù)坐標(biāo)上畫出來會得到一條斜向下的直線。

??????冪律分布的特征：其通式可寫成y=cx^(-r)，其中x，y是正的隨機(jī)變量，c，r均為大于零的常數(shù)。這種分布的共性是絕大多數(shù)事件的規(guī)模很小，而只有少數(shù)事件的規(guī)模相當(dāng)大。對上式兩邊取對數(shù)，可知lny與lnx滿足線性關(guān)系lny=lnc-rlnx，也即在雙對數(shù)坐標(biāo)下，冪律分布表現(xiàn)為一條斜率為冪指數(shù)的負(fù)數(shù)的直線，這一線性關(guān)系是判斷給定的實例中隨機(jī)變量是否滿足冪律的依據(jù)。
??????判斷兩個隨機(jī)變量是否滿足線性關(guān)系，可以求解兩者之間的相關(guān)系數(shù)；利用一元線性回歸模型和最小二乘法，可得lny對lnx的經(jīng)驗回歸直線方程，從而得到y(tǒng)與x之間的冪律關(guān)系式。
??????冪律分布表現(xiàn)為一條斜率為冪指數(shù)的負(fù)數(shù)的直線,這一線性關(guān)系是判斷給定的實例中隨機(jī)變量是否滿足冪律的依據(jù)。

??????冪律分布現(xiàn)象：自然界與社會生活中存在各種各樣性質(zhì)迥異的冪律分布現(xiàn)象，因而對它們的研究具有廣泛而深遠(yuǎn)的意義。借助于有效的物理和數(shù)學(xué)工具以及強(qiáng)大的計算機(jī)運算能力，科學(xué)家們對冪律分布的本質(zhì)有了進(jìn)一步深層次的理解。

• 1932年,哈佛大學(xué)的語言學(xué)專家Zipf在研究英文單詞出現(xiàn)的頻率時,發(fā)現(xiàn)如果把單詞出現(xiàn)的頻率按由大到小的順序排列,則每個單詞出現(xiàn)的頻率與它的名次的常數(shù)次冪存在簡單的反比關(guān)系，這種分布就稱為Zipf定律,它表明在英語單詞中,只有極少數(shù)的詞被經(jīng)常使用,而絕大多數(shù)詞很少被使用。實際上,包括漢語在內(nèi)的許多國家的語言都有這種特點。
• 19世紀(jì)的意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Pareto研究了個人收入的統(tǒng)計分布,發(fā)現(xiàn)少數(shù)人的收入要遠(yuǎn)多于大多數(shù)人的收入,提出了著名的80/20法則,即20%的人口占據(jù)了80%的社會財富。個人收入X不小于某個特定值x的概率與x的常數(shù)次冪亦存在簡單的反比關(guān)系，即為Pareto定律。

Zipf定律與Pareto定律都是簡單的冪函數(shù),我們稱之為冪律分布;還有其它形式的冪律分布,像名次—規(guī)模分布,規(guī)模—概率分布,這四種形式在數(shù)學(xué)上是等價的。

統(tǒng)計物理學(xué)家習(xí)慣于把服從冪律分布的現(xiàn)象稱為無標(biāo)度現(xiàn)象，即系統(tǒng)中個體的尺度相差懸殊，缺乏一個優(yōu)選的規(guī)模。可以說，凡有生命的地方，有進(jìn)化，有競爭的地方都會出現(xiàn)不同程度的無標(biāo)度現(xiàn)象。

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帕累托定律
??????自然界中大多數(shù)的量都遵循鐘形曲線，而鐘形曲線對應(yīng)的分布和刻畫隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的單峰分布非常相似。但是在過去幾十年里，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，自然界有時會產(chǎn)生一些遵循冪律分布的量，它們不再遵循鐘形曲線。
??????冪律最突出的特征不是有很多小事件，而是大量微小事件和少數(shù)非常重大的事件并存。而與之相對，這些非常重大的事件絕對不可能出現(xiàn)在鐘形曲線中。
??????在物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家大談冪律時，80/20定律風(fēng)行于大眾媒體和商業(yè)刊物中。只要80/20定律適用，你就可以確定，其背后一定有冪律存在。80/20定律即帕累托定律，源自一位非常有影響力的意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家維弗雷多·帕累托。在學(xué)術(shù)之外，帕累托憑借一個經(jīng)驗觀察而享有盛名。作為一個勤勞的園丁，他注意到，80%的豌豆是20%的豆莢結(jié)出的。作為經(jīng)濟(jì)不平等現(xiàn)象的細(xì)心觀察者，他發(fā)現(xiàn)意大利80%的土地被20%的人口占有。
??????最近，帕累托定律（也被稱為80/20定律）又演變成管理學(xué)中的墨菲定律：80%的利潤由20%的員工創(chuàng)造，80%的客戶服務(wù)問題來自20%的顧客，80%的決定在20%的會議時間里完成，諸如此類。80/20法則還在很多領(lǐng)域里以常識的形式出現(xiàn)，例如，80%的犯罪行為來自20%的罪犯。

復(fù)雜的萬維網(wǎng)遵循冪律分布
??????經(jīng)過令人信服的數(shù)據(jù)分析我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)百萬網(wǎng)頁創(chuàng)造者以某種神秘的方式協(xié)同工作，形成了復(fù)雜的萬維網(wǎng)，在這里，隨機(jī)宇宙不再存在。網(wǎng)絡(luò)的連通性由少數(shù)樞紐節(jié)點保證，是它們讓真實網(wǎng)絡(luò)免于瓦解。不均勻性，是冪律度分布網(wǎng)絡(luò)的特性。冪律分布迫使研究者們放棄了尺度或者特征節(jié)點的想法，在連續(xù)的層級中，無法找到一個能夠代表所有節(jié)點特性的節(jié)點。在這些網(wǎng)絡(luò)中，并不存在固有的尺度。冪律分布預(yù)言，每個無尺度網(wǎng)絡(luò)中都有一些大的樞紐節(jié)點，是它們從根本上確定著網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)洹?br /> ??????人們發(fā)現(xiàn)，包括萬維網(wǎng)和細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的大多數(shù)重要網(wǎng)絡(luò)都是無尺度的，這讓人們逐步認(rèn)可了樞紐節(jié)點的存在。我們將看到，樞紐節(jié)點決定著真實網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、動態(tài)行為、健壯性、容錯性和故障容忍性。它們的存在預(yù)示著，有一些非常重要的組織規(guī)則在支配著網(wǎng)絡(luò)的演化。
??????在網(wǎng)絡(luò)中觀察到冪律，預(yù)示著網(wǎng)絡(luò)和其他自然現(xiàn)象之間存在著未知的聯(lián)系，從而將網(wǎng)絡(luò)置于理解一般復(fù)雜系統(tǒng)的最前沿。

整體大于部分之和，相變點理論
??????人類對部分的了解遠(yuǎn)多于整體。比如對于水分子，無論是其大小還是內(nèi)部結(jié)構(gòu)，我們都已經(jīng)了解得非常清楚。這一點都不奇怪，畢竟水是地球上最常見和被研究最多的物質(zhì)。但是，玻璃杯里由數(shù)十億緊密結(jié)合的水分子形成的液態(tài)水，對我們而言仍是個挑戰(zhàn)。磁體的有序和無序狀態(tài)對應(yīng)著物質(zhì)不同的熱力學(xué)狀態(tài)。在相變點，系統(tǒng)在兩個狀態(tài)間面臨的抉擇，就像站在山脊上的登山者要選擇從哪一邊下山一樣。在沒有做出決定之前，系統(tǒng)通常左右搖擺，這種搖擺在臨界點附近達(dá)到極致。
??????隨著物理學(xué)家仔細(xì)研究不同的系統(tǒng)中有序是如何從無序中涌現(xiàn)出來的，越來越多的冪律在相變過程中被發(fā)現(xiàn)。
??????1965年的一天，厄巴納的伊利諾伊大學(xué)的物理學(xué)家利奧·卡達(dá)諾夫突然悟到：在臨界點附近，我們不能再把各個原子分開研究。相反，這些原子應(yīng)該被視為行動一致的群體。原子被由原子形成的盒子取代，每個盒子中的原子行為一致。人們在理解無序到有序的相變方面取得了第一個重大突破。

有序和涌現(xiàn)
??????冪律從數(shù)學(xué)角度闡釋了這樣的概念：少數(shù)幾個大事件發(fā)揮了大部分的作用。在完全隨機(jī)的系統(tǒng)中，冪律極少出現(xiàn)。我們在萬維網(wǎng)中看到的冪律，首次以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)術(shù)語表明，真實網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)不是隨機(jī)的。而物理學(xué)家已經(jīng)明白，冪律通常標(biāo)志著從無序到有序的過渡。
??????自然界往往厭惡冪律，在常見的系統(tǒng)中，量遵循鐘形曲線，而且相關(guān)性按照指數(shù)率迅速衰減，但是，當(dāng)系統(tǒng)被迫發(fā)生相變時，所有這一切都改變了。相變理論清清楚楚地告訴我們，從無序到有序的道路，是自組織在強(qiáng)有力地推動，并通過冪律鋪就。它還告訴我們，冪律不僅是刻畫系統(tǒng)行為的另一種方式，更是復(fù)雜系統(tǒng)自組織所獨有的特性。冪律具有非常獨特而深遠(yuǎn)的意義，由此我們在網(wǎng)絡(luò)中看到了一種全新而未知的秩序，這種秩序具有不同尋常的優(yōu)美和一致性。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第10章* 网络 幂律分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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