05 對偶

目錄
5.1 Lagrange對偶函數
5.2 Lagrange對偶問題
（5.3 幾何解釋 5.4 鞍點解釋）
5.5 最優性條件
5.6 擾動及靈敏度分析
5.7 例子

5.8 擇一定理
5.9 廣義不等式

5.1 Lagrange對偶函數

Lagrange對偶的基本思想：添加約束函數的加權和，得到增廣的目標函數

（一）Lagrange對偶函數

5.1.2 Lagrange對偶函數

Def 1 Lagrange函數的定義
Def 2 Lagrange對偶函數的定義g(λ,v)

定理1：對偶函數是一族關于（λ，v）的仿射函數逐點下確界，對偶函數是凹函數。

5.1.3 最優值的下界

定理2（Lagrange對偶函數是最優值$p^{?}$的下界）：對于任意$\lambda \ge 0，v$，有$g(\lambda ,v)\le p^{?}$。

注：為給出$p^{?}$的一個非平凡下界，需要$\lambda \ge 0，(\lambda ,v)\in domg，即g(\lambda ,v)>?\infty$。稱滿足上述條件的(λ,v)是對偶可行的。

ps. 通過線性逼近理解以上概念
首先將原問題重新（等價）描述為一個無約束問題：用無限強硬的不滿意方程表示

Lagrange函數是用線性或“軟”的不滿意函數替換強硬不滿意函數得到的；

最優值下界：線性函數可以看成是示性函數的一個下估計。

5.1.5 示例

線性方程組的最小二乘解

標準形式的線性規劃

雙向劃分問題
該問題的遍歷法求解思路
理解方式：1. 將原問題理解為雙向劃分問題；2. 將原問題理解為特征值問題；

（二）Lagrange對偶函數與共軛函數

總結

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