Convolution

引

已知兩個拉普拉斯變換結果$F(s),G(s)$,
$$\begin{gathered} F(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{?st}f(t)dt \\ G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{?st}g(t)dt \end{gathered}$$
它們的乘積$F(s)?G(s)$為何？

我們知道拉普拉斯變換就是連續版的冪級數

于是我們可以用冪級數的乘積類比出卷積的公式
$$\begin{gathered} F(x)=\sum _0^{\infty }{a}_n{x}^n \\ G(x)=\sum _0^{\infty }{b}_n{x}^n \\ F(x)?G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{m=0}^n{a}_m{b}_{n?m})x^n \end{gathered}$$
冪級數的乘積的系數乘為柯西乘積，思考:

$x^n$項可以由$1,x^n$x相乘得到 可以由$x,x^{n?1}$相乘，$x^2,x^{n?2}$相乘，…，$x^m,x^{n?m}$相乘，…，$x^n,1$相乘得到，所以就得出$x^n$項的系數為柯西乘積

于是我們把這個式子變連續，即可得：
$$F(s)?G(s)={\int }_0^{\infty }({\int }_0^{t}f(u)g(t?u)du)e^{?st}dt={\int }_0^{\infty }(f?g)e^{?st}dt$$
其中
$${\int }_0^{t}f(u)g(t?u)du$$
稱為$f$和$g$的卷積，寫作$f?g$

---

文章目錄

• Convolution
• • • 引
  • @[toc]
  • • 證明
    • 性質
    • 理解卷積

證明

用二重積分換元證明
$$F(s)?G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{?su}f(u)du?{\int }_0^{\infty }{e}^{?sv}g(v)dv$$
根據小富比尼定理（$\text{Little?Fubini’s?theorem}$）
$$={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{?s(u+v)}f(u)g(v)dudv$$
令$t=u+v$, 換元
$$\{\begin{array}{c}u=u\\ v=t?u\end{array}$$
雅可比行列式 $Jacobian$
$$J_T=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ ?1& 1\end{array}\right|=1$$
原積分區域施以逆變換$T^{?1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, 即基向量$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 變換為 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

即得到
$$\begin{gathered} ={\int }_0^{\infty }{\int }_0^t{e}^{?st}f(u)g(t?u)J_{T}dudt \\ ={\int }_0^{\infty }{e}^{?st}{\int }_0^{t}f(u)g(t?u)dudt \\ ={\int }_0^{\infty }{e}^{?st}(f?g)dt \end{gathered}$$

---

性質

摘自wiki https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%A7%AF

交換律 $f?g=g?f$

結合律 $f?(g?h)=(f?g)?h$

分配律 $f?(g+h)=(f?g)+(f?h)$

數乘結合律 $a(f?g)=(af)?g=f?(ag)$ a為任意實數（或復數）

微分定理 $\mathcal{D}(f?g)=\mathcal{D}f?g=f?\mathcal{D}g$

---

理解卷積

可以理解為$f(t)$為系統的元素輸入率，$g(t)$理解為系統元素本身的變化比率

e.g. 核廢料填埋

填埋率為$f(t)$,衰變率$g(t)=e^{?kt}$

某一時間$u$填進廢料$f(u)du$ 這一堆放射性廢料在$t$時刻衰變為原來的$e^{?k(t?u)}$倍

所以$t$時刻的放射性物質為$f$和$g$的卷積 即
$${\int }_0^{t}f(u)e^{?k(t?u)}du$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MIT_18.03_微分方程_Convolution_卷积_Notes的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。