用分離變量法把波函數

分離成徑向部分和角度部分

徑向函數Rnl為

球諧函數Ylm為

由此計算氫原子n=1，2，3時的能級

其中z是核電荷數代入1.a0是波爾半徑，用原子單位表示代入1，

拉普拉斯算符為

代入Ψ可得到

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動能和勢能比為-1/2符合維里定理。

?

Ψ3，2，0的python代碼為
?

import sympy import math from sympy import symbols, cancela = sympy.Symbol('a') e = sympy.Symbol('e') m = sympy.Symbol('m') h = sympy.Symbol('h') l = sympy.Symbol('l') r = sympy.Symbol('r') EE = sympy.Symbol('EE')x = sympy.Symbol('x') y = sympy.Symbol('y') z = sympy.Symbol('z')θ= sympy.Symbol('θ') Ψ= sympy.Symbol('Ψ') Φ= sympy.Symbol('Φ') pi=sympy.Symbol('pi') E=sympy.Symbol('E') I=sympy.Symbol('I') sin=sympy.Symbol('sin') cos=sympy.Symbol('cos') diff=sympy.Symbol('diff') integrate=sympy.Symbol(' integrate')pi=sympy.pi E=sympy.E sin=sympy.sin cos=sympy.cos diff=sympy.diff integrate=sympy.integratefx=(2)**(1.5)* 1/(81*15**0.5) *r**2*sympy.exp(-r/3)* ( 5/(16*pi))**0.5*(3*cos(θ)*cos(θ) -1)f1=( 1/(r*r) ) *diff ( ( r*r*diff(fx,r)) ,r)f2=( 1/(r*r*sin(θ)) ) * diff( ( sin(θ)*diff(fx,θ) ) ,θ)f3=( 1/(r*r*sin(θ)*sin(θ) ) )* diff(fx,Φ,Φ)f8=(-1/2)*(f1+f2+f3)*fx#print ( f1 ) #print ( f2 ) #print ( f3 )print ( f8 )#球坐標積分 f9=( integrate( ( integrate( integrate( f8*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') ) ) , (θ, 0 , pi ) ) ) , (Φ,0,2*pi) ) )print ( f9 )f10=fx*(-1/r)*fxf11=( integrate( ( integrate( integrate( f10*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') ) ) , (θ, 0 , pi ) ) ) , (Φ,0,2*pi) ) )print ( f11 )print ( f9+f11 )

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的用径向函数和球谐函数计算氢原子能级并验证维里定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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