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多維標度法(multidimensional scaling，MDS)是一種在低維空間展示“距離”數據結構的多元數據分析技術,是一種將多維空間的研究對象( 樣本 或 變量 ) 簡化到低維空間進行定位、分析和歸類， 同時又保留對象間原始關系的數據分析方法。

多維標度法與主成分分析(Principle Component Analysis，PCA)、線性判別分析(Linear Discriminent Analysis，LDA)類似，都可以用來降維

多維標度法的目標：當n 個對象中各對對象之間的相似性(或距離)給定時，確定這些對象在低維(歐式) 空間中的表示(稱為感知圖, Perceptual Mapping)，并使其盡可能與原先的相似性(或距離)“大體匹配”，使得由降維所引起的任何變形達到最小。

低維(歐式) 空間中排列的每一個點代表一個對象，因此點間的距離與對象間的相似性高度相關。也就是說，兩個相似的對象由低維(歐式) 空間中兩個距離相近的點表示，而兩個不相似的對象則由低維(歐式) 空間兩個距離較遠的點表示。低維空間通常為二維或三維的歐氏空間，但也可以是非歐氏三維以上空間.

Classical MDS:

? 原始空間下的距離陣和低維空間下的距離陣都采用歐式距離陣

? 距離陣D 為歐式的, 即存在某個正整數p 以及Rp 空間的n個點x1, . . . , xn, 使得

目標在于: 尋找D 的(擬合) 構圖x1, . . . , xn, 其想法為

– 將平方的歐式距離陣D = (d2ij) 變換為一個非負定矩陣B

– 由B 的特征根和特征向量得到構圖X, X 的每一行表示低維空間的點.

? 為此, 記原始的p 維對象(觀測點) 為x1, . . . , xn(一般是未知的), 兩兩之間的距離平方為

B = ?1/2*HDH,H = In ? 1/n 11′

其中, r 的確定: 事先確定r = 1, 2 或3; 或者通過計算前面特征根占全體特征根的比例確定.

importnumpy as np

D=np.array([[0,411,213,219,296,397],

[411,0,204,203,120,152],

[213,204,0,73,136,245],

[219,203,73,0,90,191],

[296,120,136,90,0,109],

[397,152,245,191,109,0]])

N=D.shape[0]

T=np.zeros((N,N))#solution 1#ss = 1.0/N**2*np.sum(D**2)#for i in range(N):#for j in range(i,N):#T[i,j] = T[j,i] = -0.5*(D[i,j]**2 -1.0/N*np.dot(D[i,:],D[i,:]) -1.0/N*np.dot(D[:,j],D[:,j])+ss)

#solution 2

K =np.dot(D,np.transpose(D))

D2= D**2H= np.eye(N) - 1/N

T= -0.5*np.dot(np.dot(H,D2),H)

eigVal,eigVec=np.linalg.eig(T)

X= np.dot(eigVec[:,:2],np.diag(np.sqrt(eigVal[:2])))print(‘original distance‘,‘\tnew distance‘)for i inrange(N):for j in range(i+1,N):print(np.str(D[i,j]),‘\t\t‘,np.str("%.4f"%np.linalg.norm(X[i]-X[j])))

運行結果：

參考文檔：典型相關分析和多維標度法-張偉平的講義

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總結

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