計算器是如何計算sin、cos等科學函數(shù)的值呢？

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　　在小型計算器（需帶有函數(shù)計算功能）上，計算sin45的值為：（本文用sin45為例）

　　　　sin45=0.707106781

??? 這種小型計算器提供了10位有效數(shù)字顯示，但其實內部還有幾位有效數(shù)字，可以再通過下述方法顯示出來：在上述結果上，再乘以10000，得7071.067812（這里顯示已經多了一位），再減去整數(shù)部分7071，得0，067812，再乘以1000，得67.81187（這里又多了3位）。所以這種小型計算器內部可以計算得到函數(shù)值為14位有效數(shù)字（最后一位是四舍五入）。

　　在電腦操作系統(tǒng)自帶的計算器上，也可以完成此運算，如下圖：

　　

　　對比小型計算器的結果，可見電腦獲得的有效位數(shù)多達32位，功能十分強大。

　　在帶有函數(shù)計算功能的計算器上除了sin、cos等三角函數(shù)，還指數(shù)對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等各類函數(shù)計算計算功能，那么機器內是如何得到這些值的呢，是否也有一個表存儲大量的值用于查找呢？肯定不是的。

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　　下面從數(shù)列、級數(shù)、泰勒公式等知識，大致推導得到計算機的計算方法：

??? 先介紹數(shù)列和級數(shù)的概念：

　　

　　了解了數(shù)列和級數(shù)，跟計算sin45值還差得遠了。先介紹一位數(shù)學家：布魯克·泰勒（ Brook Taylor ），1685年8月18日出生于英格蘭密德薩斯埃德蒙頓，1731年11月30日逝世于倫敦，是一名英國數(shù)學家，他主要以泰勒公式和泰勒級數(shù)出名。

　　那么泰勒公式是如何用來計算sin45的值呢，當然這里用sin45為例，泰勒公式能計算的函數(shù)多了。

　　首先，設sin是一個函數(shù)，表達成：f(x)=sinx，也有寫有y=sinx，實質是一樣的。這個函數(shù)除了幾個特殊值，我們可從三角學來求得，如sin90=1,sin0=0等，其他值根本無法求得。如果能把這個f(x)=sinx分解成一個冪級數(shù)，先不管這個f(x)能否真的能夠分解為下式，這里先假設能分解為下式：

　　

　　式中盡管把函數(shù)f(x)展開成一個級數(shù)，但各項的系數(shù)a還是未知的，所以無法用①式求任意函數(shù)值。為了求各項系數(shù)，對公式①進行逐項求導數(shù)（或說多次求導），可以得到f(x)的各階導數(shù)式，如下：

　　

　　上面4個式子，是分別對f(x)求一階、二階、三階、n階導數(shù)得到。這里用到了微積分的知識。對于任意的一個x，上面1到5式都應該成立，這里設x=0（對應于f(x)=sinx就相當于sin0）就能通過①—⑤來求得各個系數(shù)的值：

　　把x=0代入①式，得a0=f(0)；

　　把x=0代入②式，含x的第二項及后面各項，都變?yōu)?，所以有：f’(0)=a1，即系數(shù)a1的值為函數(shù)f(x)取x=0時的一階導數(shù)的值。對于sinx的一階導數(shù)為cosx，所以f’(0)=cos0=1。

　　依次把x=0代入①—⑤式，整理得到：

　　

　　再把各項系數(shù)代入①式，就得到了所謂的麥克勞林公式：

　　

　　這個麥克勞林公式，是泰勒公式當x0=0的一個特例，如果用泰勒級數(shù)表達，則為

　　看來，公式①僅僅是假設的，是否成立還不一定，只要能夠找到各項系數(shù)的表達及計算方法，就可以認為公式是成立的。通過上述逐級求導的方法，只要f(x)的各階導數(shù)都存在，公式６則這種表達就可以成立。所幸對于許多函數(shù)來說，如sin、cos、對數(shù)指數(shù)等，甚至較復雜的冪函數(shù)，大多可以符合條件，找到這種級數(shù)的展開表示法。

　　對于函數(shù)f(x)=sinx，通過計算各項系數(shù)，再展開為級數(shù)：

　　

　　從上面幾個式子可以看出，sinx的各階導數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律為：順序循環(huán)為0,1,0,-1，所以根據(jù)這個規(guī)律把求出的各階導數(shù)值代入公式７，可以寫出sinx展開后的麥克勞林公式為：

　　

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　　但是，至此還看不出這種表達式的任何好處，相反，總覺得把一個簡單的函數(shù)弄得相當復雜，似乎無助于問題的解決，那個sin45還是可望而不可及。但觀察(8)式，對于一個具體確定的x值，每一項都是可以計算的，一些分式上x的次方也是整數(shù)，也是可以求出的，盡管計算相當繁復，但編制程序由計算機處理，將變得極為容易，不像sin45一樣讓人束手無策。

　　但是，這里還存在二個問題，一是對于三角函數(shù)，需把角度轉換成弧度，才能代入公式計算；二是這個級數(shù)有無數(shù)多項，又如何進行計算呢？

　　對于f(x)=sin45，得先表達成弧度形式，45是角度值，轉換成弧度就是∏/4。

　　對于級數(shù)有無數(shù)項，其實這又是泰勒級數(shù)的精妙所在：隨著n的增大，后面各項的值將越來越小，直到趨向于0，用數(shù)學術語來表達的話，就叫級數(shù)是收斂的，也即當n趨向于無窮大時通項的極限＝0，所以只需計算前面若干項就可以得到函數(shù)的近似值，當然，項數(shù)取得越多，最終計算得到的精度也越高。如果級數(shù)是通項不趨向０，則級數(shù)是發(fā)散的。這就無法用于上述計算了。

　　下面通過取前４項的來進行計算：

　　1.??????? x=∏/4　=? 0.78539816339744830961566084581988

　　2.??????? -x^3/3! = -0.08074551218828078170696957048724

　　3.??????? x^5/5!　=? 0.00249039457019272016001579842157

　　4.??????? -x^7/7! =- 0.00003657620418217725078660518698

　　?? Sin45=sin(∏/4)=? 0.707106469575178070817920468567

???（這里的運算還是使用了計算器，主要是為了能說明問題。手工計算也行，只是量相當大，特別是取有效位數(shù)多的時候，估計如果手工計算，沒幾人能算得下來。而且上述過程沒有考慮太多近似計算的理論。）

??? 與計算器或計算機的運算結果對比，前6位有效數(shù)字是正確的。從上述計算級數(shù)的前４項的值來看，可以明顯看出，當n增大時，對應項的絕對值是急劇減小。

??? 理論上函數(shù)展開后的泰勒級數(shù)為無窮級數(shù)，但工程實際上需要的僅是合適精度的近似值。即使是電腦中的科學計算器得到的結果也是一個32位的近似值，如果需要更高的精度，只需編寫電腦程序來實現(xiàn)。至此，已基本解決sin45度值如何得到的問題，其他三角函數(shù)、指數(shù)對數(shù)函數(shù)等都可以通過上述方法來進行理論推導和近似計算。

轉載于:https://www.cnblogs.com/lifeifei_heyang/archive/2011/08/24/4291319.html

總結

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