codevs 1200 同余方程

2012年NOIP全國聯賽提高組

?時間限制: 1 s ?空間限制: 128000 KB ?題目等級 : 鉆石 Diamond 題目描述?Description

求關于 x 同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整數解。?

輸入描述?Input Description

輸入只有一行，包含兩個正整數 a, b，用 一個 空格隔開。?

輸出描述?Output Description

輸出只有一行包含一個正整數x0，即最小正整數解，輸入數據保證一定有解。

樣例輸入?Sample Input

3 10?

樣例輸出?Sample Output

7

數據范圍及提示?Data Size & Hint

【數據范圍】
對于 40% ?的數據， 2 ≤b≤ 1,000 ；
對于 60% 的數據， 2 ≤b≤ 50,000,000?
對于 100% ?的數據， 2 ≤a, b≤ 2,000,000,000

分類標簽?Tags?點此展開?

歐幾里德定理?數論?大陸地區?NOIP全國聯賽提高組?2012年 1 /* ax ≡ 1 (mod b)就是ax=by+1,而且x，y都為整數，所以ax mod b==1,對于ax=by+1，用擴展gcd求解，再用找到合適的x輸出即可*/ 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 #include<cstdio> 5 long long a,b; 6 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y,long long &gcd) 7 { 8 if(b==0) 9 { 10 gcd=a;x=1;y=0; 11 return; 12 } 13 exgcd(b,a%b,x,y,gcd); 14 int t=x; 15 x=y; 16 y=t-(a/b)*y; 17 } 18 int main() 19 { 20 cin>>a>>b; 21 long long gcd,x,y; 22 exgcd(a,b,x,y,gcd); 23 long long a0=a/gcd,b0=b/gcd; 24 long long k=1/gcd; 25 x*=k;y*=k; 26 if(x<=0) 27 { 28 int i=1; 29 while(1) 30 { 31 if(a*(x+i*b0)+b*(y-i*a0)==1) 32 { 33 if(x+i*b0>0) 34 { 35 cout<<(x+i*b0)<<endl; 36 return 0; 37 } 38 } 39 i++; 40 } 41 } 42 if(x>0) 43 { 44 int i=-1; 45 while(1) 46 { 47 if(a*(x+i*b0)+b*(y-i*a0)==1) 48 { 49 if(x+i*b0<0) 50 { 51 cout<<x<<endl; 52 return 0; 53 } 54 } 55 i--; 56 } 57 } 58 return 0; 59 }

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總結

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