Prim算法 求出 最小生成树
MST（Minimum Spanning Tree，最小生成樹）問題有兩種通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是從點的方面考慮構建一顆MST，大致思想是：設圖G頂點集合為U，首先任意選擇圖G中的一點作為起始點a，將該點加入集合V，再從集合U-V中找到另一點b使得點b到V中任意一點的權值最小，此時將b點也加入集合V；以此類推，現在的集合V={a，b}，再從集合U-V中找到另一點c使得點c到V中任意一點的權值最小，此時將c點加入集合V，直至所有頂點全部被加入V，此時就構建出了一顆MST。因為有N個頂點，所以該MST就有N-1條邊，每一次向集合V中加入一個點，就意味著找到一條MST的邊。
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用圖示和代碼說明：
初始狀態：
設置2個數據結構：
lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了MST
mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，即說明邊<mst[i],i>是MST的一條邊，當mst[i]=0表示起點i加入MST
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我們假設V1是起始點，進行初始化（*代表無限大，即無通路）：
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lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*
mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有點默認起點是V1）
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明顯看出，以V3為終點的邊的權值最小=1，所以邊<mst[3],3>=1加入MST
此時，因為點V3的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：
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lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3
明顯看出，以V6為終點的邊的權值最小=4，所以邊<mst[6],6>=4加入MST
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此時，因為點V6的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：
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lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0
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明顯看出，以V4為終點的邊的權值最小=2，所以邊<mst[4],4>=4加入MST
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此時，因為點V4的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：
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lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0
明顯看出，以V2為終點的邊的權值最小=5，所以邊<mst[2],2>=5加入MST
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此時，因為點V2的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：
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lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0
很明顯，以V5為終點的邊的權值最小=3，所以邊<mst[5],5>=3加入MST
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lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0
至此，MST構建成功，如圖所示：
根據上面的過程，可以容易的寫出具體實現代碼如下（cpp）：
[cpp]?view plaincopy print?Input：
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[plain]?view plaincopy print?Output：
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[plain]?view plaincopy print??
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java實現： /** prim最小生成樹** 參數說明：* start -- 從圖中的第start個元素開始，生成最小樹*/ public void prim(int start) {int num = mVexs.length; // 頂點個數int index=0; // prim最小樹的索引，即prims數組的索引char[] prims = new char[num]; // prim最小樹的結果數組int[] weights = new int[num]; // 頂點間邊的權值// prim最小生成樹中第一個數是"圖中第start個頂點"，因為是從start開始的。prims[index++] = mVexs[start];// 初始化"頂點的權值數組"，// 將每個頂點的權值初始化為"第start個頂點"到"該頂點"的權值。for (int i = 0; i < num; i++ )weights[i] = mMatrix[start][i];// 將第start個頂點的權值初始化為0。// 可以理解為"第start個頂點到它自身的距離為0"。weights[start] = 0;for (int i = 0; i < num; i++) {// 由于從start開始的，因此不需要再對第start個頂點進行處理。if(start == i)continue;int j = 0;int k = 0;int min = INF;// 在未被加入到最小生成樹的頂點中，找出權值最小的頂點。while (j < num) {// 若weights[j]=0，意味著"第j個節點已經被排序過"(或者說已經加入了最小生成樹中)。if (weights[j] != 0 && weights[j] < min) {min = weights[j];k = j;}j++;}// 經過上面的處理后，在未被加入到最小生成樹的頂點中，權值最小的頂點是第k個頂點。// 將第k個頂點加入到最小生成樹的結果數組中prims[index++] = mVexs[k];// 將"第k個頂點的權值"標記為0，意味著第k個頂點已經排序過了(或者說已經加入了最小樹結果中)。weights[k] = 0;// 當第k個頂點被加入到最小生成樹的結果數組中之后，更新其它頂點的權值。for (j = 0 ; j < num; j++) {// 當第j個節點沒有被處理，并且需要更新時才被更新。if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])weights[j] = mMatrix[k][j];}}// 計算最小生成樹的權值int sum = 0;for (int i = 1; i < index; i++) {int min = INF;// 獲取prims[i]在mMatrix中的位置int n = getPosition(prims[i]);// 在vexs[0...i]中，找出到j的權值最小的頂點。for (int j = 0; j < i; j++) {int m = getPosition(prims[j]);if (mMatrix[m][n]<min)min = mMatrix[m][n];}sum += min;}// 打印最小生成樹System.out.printf("PRIM(%c)=%d: ", mVexs[start], sum);for (int i = 0; i < index; i++)System.out.printf("%c ", prims[i]);System.out.printf("\n"); }?
轉載于:https://www.cnblogs.com/sz-zzm/p/5553059.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的Prim算法 求出 最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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