Dijkstra算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。

問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 V0 到其余各點的最短路徑。（單源最短路徑）

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2.算法描述

1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大于從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

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2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，即:U={其余頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權值為∞。

b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改后的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重復步驟b和c直到所有頂點都包含在S中。

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執行動畫過程如下圖

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動圖太快可以看下面的例子：

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重點需要理解這句拗口的”按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大于從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度”

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實際上，Dijkstra?算法是一個排序過程，就上面的例子來說，是根據A到圖中其余點的最短路徑長度進行排序，路徑越短越先被找到，路徑越長越靠后才能被找到，要找A到F的最短路徑，我們依次找到了?
A –> C?的最短路徑?3?
A –> C –> B?的最短路徑?5?
A –> C –> D?的最短路徑?6?
A –> C –> E?的最短路徑?7?
A –> C –> D –> F?的最短路徑?9?

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為什么Dijkstra?算法不適用于帶負權的圖？?
就上個例子來說，當把一個點選入集合S時，就意味著已經找到了從A到這個點的最短路徑，比如第二步，把C點選入集合S，這時已經找到A到C的最短路徑了，但是如果圖中存在負權邊，就不能再這樣說了。舉個例子，假設有一個點Z，Z只與A和C有連接，從A到Z的權為50，從Z到C的權為-49，現在A到C的最短路徑顯然是A –> Z –> C

再舉個例子：

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在這個圖中，求從A到C的最短路，如果用Dijkstra根據貪心的思想，選擇與A最接近的點C，長度為7，以后不再變化。但是很明顯此圖最短路為5。歸結原因是Dijkstra采用貪心思想，不從整體考慮結果，只從當前情況考慮選擇最優。

4.代碼模板

1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define inf 0x3f3f3f3f 4 int map[110][110],dis[110],visit[110]; 5 /* 6 關于三個數組：map數組存的為點邊的信息，比如map[1][2]=3，表示1號點和2號點的距離為3 7 dis數組存的為起始點與每個點的最短距離，比如dis[3]=5，表示起始點與3號點最短距離為5 8 visit數組存的為0或者1，1表示已經走過這個點。 9 */ 10 int n,m; 11 int dijstra() 12 { 13 int i,j,pos=1,min,sum=0; 14 memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化為.，表示開始都沒走過 15 for(i=1; i<=n; ++i) 16 { 17 dis[i]=map[1][i]; 18 } 19 visit[1]=1; 20 dis[1]=0; 21 for(i=1; i<n; i++) 22 { 23 min=inf; 24 for(j=1; j<=n; ++j) 25 { 26 if(visit[j]==0&&min>dis[j]) 27 { 28 min=dis[j]; 29 pos=j; 30 } 31 } 32 visit[pos]=1;//表示這個點已經走過 33 for(j=1; j<=n; ++j) 34 { 35 if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值 36 dis[j]=dis[pos]+map[pos][j]; 37 } 38 } 39 return dis[n]; 40 } 41 int main() 42 { 43 int i,j; 44 while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n個點，m表示m條邊 45 { 46 for(i=1; i<=n; ++i) 47 { 48 for(j=1; j<=n; ++j) 49 { 50 map[i][j]=inf;//開始時將每條邊賦為最大值 51 } 52 } 53 int a,b,c; 54 for(i=1; i<=m; ++i) 55 { 56 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 57 if(c<map[a][b])//防止有重邊 58 map[a][b]=map[b][a]=c; 59 } 60 int count=dijstra(); 61 printf("%d\n",count); 62 } 63 return 0; 64 }

鄰接表實現：

1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<vector> 4 #include<algorithm> 5 #define INF 0x3f3f3f3f 6 using namespace std; 7 struct node 8 { 9 int end;///終點 10 int power;///權值 11 } t; 12 int n;///n為點數 13 vector<node>q[500001];///鄰接表儲存圖的信息 14 int dis[500001];///距離 15 int vis[500001];///標記數組 16 void Dijkstra(int start,int end) 17 { 18 int i,len,j,pos; 19 memset(vis,0,sizeof(vis)); 20 for(i=0; i<=n; i++) 21 { 22 dis[i]=INF; 23 } 24 len=q[start].size(); 25 for(i=0; i<len; i++) 26 { 27 if(q[start][i].power<dis[q[start][i].end]) 28 { 29 dis[q[start][i].end]=q[start][i].power; 30 } 31 }///從起點開始的dis數組更新 32 vis[start]=1; 33 for(j=0; j<n-1; j++) 34 { 35 int pos,min=INF; 36 for(i=1; i<=n; i++) 37 { 38 if(vis[i]!=0&&dis[i]<min) 39 { 40 min=dis[i]; 41 pos=i;///找到未訪問節點中權值最小的 42 } 43 } 44 vis[pos]=1; 45 len=q[pos].size();///再次更新dis數組 46 for(j=0; j<len; j++) 47 { 48 if(vis[q[pos][j].end]==0&&dis[q[pos][j].end]>q[pos][j].power+dis[pos]) 49 { 50 dis[q[pos][j].end] = q[pos][j].power+dis[pos]; 51 } 52 } 53 } 54 printf("%d\n",dis[end]); 55 } 56 int main() 57 { 58 int m,i; 59 int begin,end,power; 60 int a,b; 61 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 62 { 63 for(i=0; i<=n; i++) 64 { 65 q[i].clear();///將victor數組清空 66 } 67 for(i=0; i<m; i++) 68 { 69 scanf("%d%d%d",&begin,&end,&power);///輸入 70 t.end=end; 71 t.power=power; 72 q[begin].push_back(t); 73 t.end=begin;///無向圖 74 t.power=power; 75 q[end].push_back(t); 76 } 77 scanf("%d%d",&a,&b);///輸入起點與終點 78 Dijkstra(a,b); 79 } 80 return 0; 81 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9159925.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单源最短路——dijkstra算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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