2820: YY的GCD

Description

神犇YY虐完數(shù)論后給傻×kAc出了一題給定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)為質(zhì)數(shù)的(x, y)有多少對kAc這種 傻×必然不會了，于是向你來請教……多組輸入

Input

第一行一個整數(shù)T 表述數(shù)據(jù)組數(shù)接下來T行，每行兩個正整數(shù)，表示N, M

Output

T行，每行一個整數(shù)表示第i組數(shù)據(jù)的結(jié)果

Sample Input

2
10 10
100 100

Sample Output

30
2791

HINT

T = 10000

N, M <= 10000000

思路：

題目中描述的式子即為：

$\sum\limits_{p}is[p]\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{M}[gcd(i,j)=p]$

把$p$除到前面可以化簡得 ：

$\sum\limits_{p}is[p]\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac {N}{p}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac {M}{p}\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

出現(xiàn)$[gcd(i,j)=1]$的形式，考慮莫比烏斯反演，化簡得：

$\sum\limits_{p}is[p]\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac {N}{p}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac {M}{p}\rfloor}\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

把d提到前面得

$\sum\limits_{p}is[p]\sum\limits_{d=1}^{\lfloor\frac {\min(N,M)}{p}\rfloor}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac {N}{dp}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac {M}{dp}\rfloor}$

設(shè)$Q = dp$ 枚舉$Q$化簡為

$\sum\limits_{Q=1}^{\min(N,M)}\lfloor\frac{N}{Q}\rfloor \lfloor\frac{M}{Q}\rfloor\sum\limits_{p|Q}is[p]\mu(\frac{Q}{p})$

設(shè)函數(shù)$f(n) = \sum\limits_{p|n}is[p]\mu(\frac{n}{p})$

考慮得出$f(n)$

有以下幾種情況 ：
1. 若 $f(n)$ 為質(zhì)數(shù)
??? 值即為$\mu(1) = 1$
2. 若 $n % p == 0$ 則$f(n \times p)$可以化成$\sum\limits_{d|n\times p}is[d]\mu(\frac{n\times p}ozvdkddzhkzd)$

考慮當(dāng)$d!=p$時$\frac{n\times p}ozvdkddzhkzd$有多個$p$
對$\sum$的貢獻(xiàn)為0，所以此時$f(n\times p)=\mu(n)$
1. 若 $n % p != 0$ , $f(n\times p)$可以化為$f(n)\times \mu(p) + f(p)\times \mu(n)$ 。我們又知道$\mu(p) = -1$,$f(p) = 1$,所以$f(n \times p)=\mu(n)-f(n)$

我們再處理一下前綴和, 老套路分$\sqrt n$塊計算。得到結(jié)果
```cpp

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 11000000; bool np[N+10]; int mu[N+10], tot, pr[N+10], sum[N+10]; int f[N+10]; int t, n, m; void init() {mu[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++) {if(!np[i]) {pr[++tot]=i;mu[i]=-1;f[i]=1;}for(int j=1;j<=tot&&i*pr[j]<=N;j++) {np[i*pr[j]]=1;if(!(i%pr[j])) {mu[i*pr[j]]=0;f[i*pr[j]]=mu[i];break;}mu[i*pr[j]]=-mu[i];f[i*pr[j]]=mu[i]-f[i];}sum[i]=sum[i-1]+f[i];} } void solve(int n, int m) {if(n>m)swap(n,m);int lst;long long ans=0;for(int i=1;i<=n;i=lst+1) {lst = min(n/(n/i), m/(m/i));ans+=1ll*(sum[lst]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);}printf("%lld\n", ans); } int main() {init();scanf("%d",&t);while(t--) {scanf("%d%d",&n,&m);solve(n,m);} }

?BZOJ 2818 雙倍經(jīng)驗

```

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Tobichi/p/9184970.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 2820 YY的GCD 莫比乌斯反演的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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