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最大連續(xù)子數(shù)列和一道很經(jīng)典的算法問題，給定一個數(shù)列，其中可能有正數(shù)也可能有負(fù)數(shù)，我們的任務(wù)是找出其中連續(xù)的一個子數(shù)列（不允許空序列），使它們的和盡可能大。我們一起用多種方式，逐步優(yōu)化解決這個問題。

為了更清晰的理解問題，首先我們先看一組數(shù)據(jù)：
8
-2 6 -1 5 4 -7 2 3
第一行的8是說序列的長度是8，然后第二行有8個數(shù)字，即待計算的序列。
對于這個序列，我們的答案應(yīng)該是14，所選的數(shù)列是從第2個數(shù)到第5個數(shù)，這4個數(shù)的和是所有子數(shù)列中最大的。

最暴力的做法，復(fù)雜度O(N^3)

暴力求解也是容易理解的做法，簡單來說，我們只要用兩層循環(huán)枚舉起點和終點，這樣就嘗試了所有的子序列，然后計算每個子序列的和，然后找到其中最大的即可，C語言代碼如下：

#include <stdio.h>//N是數(shù)組長度，num是待計算的數(shù)組，放在全局區(qū)是因為可以開很大的數(shù)組 int N, num[1024];int main() {//輸入數(shù)據(jù)scanf("%d", &N);for(int i = 1; i <= N; i++)scanf("%d", &num[i]);int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和，初始化為num[1]能保證最終結(jié)果正確//i和j分別是枚舉的子序列的起點和終點，k所在循環(huán)計算每個子序列的和for(int i = 1; i <= N; i++) {for(int j = i; j <= N; j++) {int s = 0;for(int k = i; k <= j; k++) {s += num[k];}if(s > ans) ans = s;}}printf("%d\n", ans);return 0; }

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這個算法的時間復(fù)雜度是O(N^3)，復(fù)雜度的計算方法可參考《算法導(dǎo)論》第一章，如果我們的計算機(jī)可以每秒計算一億次的話，這個算法在一秒內(nèi)只能計算出500左右長度序列的答案。

一個簡單的優(yōu)化

如果你讀懂了剛才的程序，我們可以來看一個簡單的優(yōu)化。
如果我們有這樣一個數(shù)組sum，sum[i]表示第1個到第i個數(shù)的和。那么我們?nèi)绾慰焖儆嬎愕趇個到第j個這個序列的和？對，只要用sum[j] - sum[i-1]就可以了！這樣的話，我們就可以省掉最內(nèi)層的循環(huán)，讓我們的程序效率更高！C語言代碼如下：

#include <stdio.h>//N是數(shù)組長度，num是待計算的數(shù)組，sum是數(shù)組前綴和，放在全局區(qū)是因為可以開很大的數(shù)組 int N, num[16384], sum[16384];int main() {//輸入數(shù)據(jù)scanf("%d", &N);for(int i = 1; i <= N; i++)scanf("%d", &num[i]);//計算數(shù)組前綴和sum[0] = 0;for(int i = 1; i <= N; i++) {sum[i] = num[i] + sum[i - 1];}int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和，初始化為num[1]能保證最終結(jié)果正確//i和j分別是枚舉的子序列的起點和終點for(int i = 1; i <= N; i++) {for(int j = i; j <= N; j++) {int s = sum[j] - sum[i - 1];if(s > ans) ans = s;}}printf("%d\n", ans);return 0; }

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這個算法的時間復(fù)雜度是O(N^2)。如果我們的計算機(jī)可以每秒計算一億次的話，這個算法在一秒內(nèi)能計算出10000左右長度序列的答案，比之前的程序已經(jīng)有了很大的提升！此外，我們在這個程序中創(chuàng)建了一個sum數(shù)組，事實上，這也是不必要的，我們我就也可以把數(shù)組前綴和直接計算在num數(shù)組中，這樣可以節(jié)約一些內(nèi)存。

換個思路，繼續(xù)優(yōu)化

你應(yīng)該聽說過分治法，正是：分而治之。我們有一個很復(fù)雜的大問題，很難直接解決它，但是我們發(fā)現(xiàn)可以把問題劃分成子問題，如果子問題規(guī)模還是太大，并且它還可以繼續(xù)劃分，那就繼續(xù)劃分下去。直到這些子問題的規(guī)模已經(jīng)很容易解決了，那么就把所有的子問題都解決，最后把所有的子問題合并，我們就得到復(fù)雜大問題的答案了。可能說起來簡單，但是仍不知道怎么做，接下來分析這個問題：
首先，我們可以把整個序列平均分成左右兩部分，答案則會在以下三種情況中：
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列剛好橫跨分割點，即左右序列各占一部分。
前兩種情況和大問題一樣，只是規(guī)模小了些，如果三個子問題都能解決，那么答案就是三個結(jié)果的最大值。我們主要研究一下第三種情況如何解決：

我們只要計算出：以分割點為起點向左的最大連續(xù)序列和、以分割點為起點向右的最大連續(xù)序列和，這兩個結(jié)果的和就是第三種情況的答案。因為已知起點，所以這兩個結(jié)果都能在O(N)的時間復(fù)雜度能算出來。

遞歸不斷減小問題的規(guī)模，直到序列長度為1的時候，那答案就是序列中那個數(shù)字。
綜上所述，C語言代碼如下，遞歸實現(xiàn)：

#include <stdio.h>//N是數(shù)組長度，num是待計算的數(shù)組，放在全局區(qū)是因為可以開很大的數(shù)組 int N, num[16777216];int solve(int left, int right) {//序列長度為1時if(left == right)return num[left];//劃分為兩個規(guī)模更小的問題int mid = left + right >> 1;int lans = solve(left, mid);int rans = solve(mid + 1, right);//橫跨分割點的情況int sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];for(int i = mid; i >= left; i--) {sum += num[i];if(sum > lmax) lmax = sum;}sum = 0;for(int i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += num[i];if(sum > rmax) rmax = sum;}//答案是三種情況的最大值int ans = lmax + rmax;if(lans > ans) ans = lans;if(rans > ans) ans = rans;return ans; }int main() {//輸入數(shù)據(jù)scanf("%d", &N);for(int i = 1; i <= N; i++)scanf("%d", &num[i]);printf("%d\n", solve(1, N));return 0; }

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不難看出，這個算法的時間復(fù)雜度是O(N*logN)的（想想歸并排序）。它可以在一秒內(nèi)處理百萬級別的數(shù)據(jù)，甚至千萬級別也不會顯得很慢！這正是算法的優(yōu)美之處。對遞歸不太熟悉的話可能會對這個算法有所疑惑，那可就要仔細(xì)琢磨一下了。

動態(tài)規(guī)劃的魅力，O(N)解決！

很多動態(tài)規(guī)劃算法非常像數(shù)學(xué)中的遞推。我們?nèi)绻苷业揭粋€合適的遞推公式，就能很容易的解決問題。
我們用dp[n]表示以第n個數(shù)結(jié)尾的最大連續(xù)子序列的和，于是存在以下遞推公式：
dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
仔細(xì)思考后不難發(fā)現(xiàn)這個遞推公式是正確的，則整個問題的答案是max(dp[m]) | m∈[1, N]。C語言代碼如下：

#include <stdio.h>//N是數(shù)組長度，num是待計算的數(shù)組，放在全局區(qū)是因為可以開很大的數(shù)組 int N, num[134217728];int main() {//輸入數(shù)據(jù)scanf("%d", &N);for(int i = 1; i <= N; i++)scanf("%d", &num[i]);num[0] = 0;int ans = num[1];for(int i = 1; i <= N; i++) {if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];else num[i] += 0;if(num[i] > ans) ans = num[i];}printf("%d\n", ans);return 0; }

這里我們沒有創(chuàng)建dp數(shù)組，根據(jù)遞歸公式的依賴關(guān)系，單獨一個num數(shù)組就足以解決問題，創(chuàng)建一個一億長度的數(shù)組要占用幾百MB的內(nèi)存！這個算法的時間復(fù)雜度是O(N)的，所以它計算一億長度的序列也不在話下！不過你如果真的用一個這么大規(guī)模的數(shù)據(jù)來測試這個程序會很慢，因為大量的時間都耗費在程序讀取數(shù)據(jù)上了！

另辟蹊徑，又一個O(N)的算法

考慮我們之前O(N^2)的算法，即一個簡單的優(yōu)化一節(jié)，我們還有沒有辦法優(yōu)化這個算法呢？答案是肯定的！
我們已知一個sum數(shù)組，sum[i]表示第1個數(shù)到第i個數(shù)的和，于是sum[j] - sum[i-1]表示第i個數(shù)到第j個數(shù)的和。
那么，以第n個數(shù)為結(jié)尾的最大子序列和有什么特點？假設(shè)這個子序列的起點是m，于是結(jié)果為sum[n] - sum[m-1]。并且，sum[m]必然是sum[1],sum[2]...sum[n-1]中的最小值！這樣，我們?nèi)绻诰S護(hù)計算sum數(shù)組的時候，同時維護(hù)之前的最小值， 那么答案也就出來了！為了節(jié)省內(nèi)存，我們還是只用一個num數(shù)組。C語言代碼如下：

#include <stdio.h>//N是數(shù)組長度，num是待計算的數(shù)組，放在全局區(qū)是因為可以開很大的數(shù)組 int N, num[134217728];int main() {//輸入數(shù)據(jù)scanf("%d", &N);for(int i = 1; i <= N; i++)scanf("%d", &num[i]);//計算數(shù)組前綴和，并在此過程中得到答案num[0] = 0;int ans = num[1], lmin = 0;for(int i = 1; i <= N; i++) {num[i] += num[i - 1];if(num[i] - lmin > ans)ans = num[i] - lmin;if(num[i] < lmin)lmin = num[i];}printf("%d\n", ans);return 0; }

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看起來我們已經(jīng)把最大連續(xù)子序列和的問題解決得很完美了，時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都是O(N)，不過，我們確實還可以繼續(xù)！

大道至簡，最大連續(xù)子序列和問題的完美解決

很顯然，解決此問題的算法的時間復(fù)雜度不可能低于O(N)，因為我們至少要算出整個序列的和，不過如果空間復(fù)雜度也達(dá)到了O(N)，就有點說不過去了，讓我們把num數(shù)組也去掉吧！

#include <stdio.h>int main() {int N, n, s, ans, m = 0;scanf("%d%d", &N, &n); //讀取數(shù)組長度和序列中的第一個數(shù)ans = s = n; //把a(bǔ)ns初始化為序列中的的第一個數(shù)for(int i = 1; i < N; i++) {if(s < m) m = s;scanf("%d", &n);s += n;if(s - m > ans)ans = s - m;}printf("%d\n", ans);return 0; }

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這個程序的原理和另辟蹊徑，又一個O(N)的算法中介紹的一樣，在計算前綴和的過程中維護(hù)之前得到的最小值。它的時間復(fù)雜度是O(N)，空間復(fù)雜度是O(1)，這達(dá)到了理論下限！唯一比較麻煩的是ans的初始化值，不能直接初始化為0，因為數(shù)列可能全為負(fù)數(shù)！

至此，最大連續(xù)子序列和的問題已經(jīng)被我們完美解決！然而以上介紹的算法都只是直接求出問題的結(jié)果，而不能求出具體是哪一個子序列，其實搞定這個問題并不復(fù)雜，具體怎么做留待讀者思考吧！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的经典算法问题 - 最大连续子数列和的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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