數學
　　RSA加密算法中，用到素數、互質數、指數運算、模運算等幾個數學知識。

素數
　　素數又稱質數，指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數整除的數。

互質數
　　百度百科：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。維基百科：互質，又稱互素。若N個整數的最大公因子是1，則稱這N個整數互質。

　　常見的互質數判斷方法主要有以下幾種：

兩個不同的質數一定是互質數。例如，2與7、13與19。
一個質數，另一個不為它的倍數，這兩個數為互質數。例如，3與10、5與 26。
相鄰的兩個自然數是互質數。如 15與 16。
相鄰的兩個奇數是互質數。如 49與 51。
較大數是質數的兩個數是互質數。如97與88。
小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。例如 7和 16。
2和任何奇數是互質數。例如2和87。
1不是質數也不是合數，它和任何一個自然數在一起都是互質數。如1和9908。
輾轉相除法。

指數運算
　　指數運算又稱乘方計算，計算結果稱為冪。nm指將n自乘m次。把nm看作乘方的結果，叫做”n的m次冪”或”n的m次方”。其中，n稱為“底數”，m稱為“指數”。

模運算
　　模運算即求余運算。“模”是“Mod”的音譯。和模運算緊密相關的一個概念是“同余”。數學上，當兩個整數除以同一個正整數，若得相同余數，則二整數同余。

　　兩個整數a，b，若它們除以正整數m所得的余數相等，則稱a，b對于模m同余，記作: a ≡ b (mod m)；讀作：a同余于b模m，或者，a與b關于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

RSA加密算法

公鑰與密鑰的產生

　　假設Alice想要通過一個不可靠的媒體接收Bob的一條私人訊息。她可以用以下的方式來產生一個公鑰和一個私鑰：

隨意選擇兩個大的質數p和q，p不等于q，計算N=pq。
根據歐拉函數，求得r = (p-1)(q-1)
選擇一個小于 r 的整數 e，求得 e 關于模 r 的模反元素，命名為d。（模反元素存在，當且僅當e與r互質）
將 p 和 q 的記錄銷毀。
(N,e)是公鑰，(N,d)是私鑰。Alice將她的公鑰(N,e)傳給Bob，而將她的私鑰(N,d)藏起來。

加密消息

　　假設Bob想給Alice送一個消息m，他知道Alice產生的N和e。他使用起先與Alice約好的格式將m轉換為一個小于N的整數n，比如他可以將每一個字轉換為這個字的Unicode碼，然后將這些數字連在一起組成一個數字。假如他的信息非常長的話，他可以將這個信息分為幾段，然后將每一段轉換為n。用下面這個公式他可以將n加密為c：

　　ne ≡ c (mod N)

計算c并不復雜。Bob算出c后就可以將它傳遞給Alice。

解密消息

Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密鑰d來解碼。她可以用以下這個公式來將c轉換為n：

　　cd ≡ n (mod N)

得到n后，她可以將原來的信息m重新復原。

解碼的原理是：

　　cd ≡ n e·d(mod N)

以及ed ≡ 1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。由費馬小定理可證明（因為p和q是質數）

　　n e·d ≡ n (mod p) 　　和 　n e·d ≡ n (mod q)

這說明（因為p和q是不同的質數，所以p和q互質）

　　n e·d ≡ n (mod pq)

簽名消息

　　RSA也可以用來為一個消息署名。假如甲想給乙傳遞一個署名的消息的話，那么她可以為她的消息計算一個散列值(Message digest)，然后用她的密鑰(private key)加密這個散列值并將這個“署名”加在消息的后面。這個消息只有用她的公鑰才能被解密。乙獲得這個消息后可以用甲的公鑰解密這個散列值，然后將這個數據與他自己為這個消息計算的散列值相比較。假如兩者相符的話，那么他就可以知道發信人持有甲的密鑰，以及這個消息在傳播路徑上沒有被篡改過。

編程實踐

　　在開始編程前，我們通過計算，來確定公鑰和密鑰。

計算公鑰和密鑰
假設p = 3、q = 17（p，q都是素數即可。），則N = pq = 51；
r = (p-1)(q-1) = (3-1)(17-1) = 32；
根據模反元素的計算公式，我們可以得出，e·d ≡ 1 (mod 32),即e·d = 32n+1 (n為正整數)；我們假設n=1，則e·d = 33。e、d為正整數，并且e與r互質，則e = 3，d = 11。（兩個數交換一下也可以。）
　　到這里，公鑰和密鑰已經確定。公鑰為(N, e) = (51, 3)，密鑰為(N, d) = (51, 11)。

編程實現
　　下面我們使用Java來實現一下加密和解密的過程。

public class rsademo { /** * 加密、解密算法 * @param key 公鑰或密鑰 * @param message 數據 * @return */ public static long rsa(int baseNum, int key, long message){ if(baseNum < 1 || key < 1){ return 0L; } //加密或者解密之后的數據 long rsaMessage = 0L; //加密核心算法 rsaMessage = Math.round(Math.pow(message, key)) % baseNum; return rsaMessage; } public static void main(String[] args){ //基數 int baseNum = 3 * 17; //公鑰 int keyE = 3; //密鑰 int keyD = 11; //未加密的數據 long msg = 28L; //加密后的數據 long encodeMsg = rsa(baseNum, keyE, msg); //解密后的數據 long decodeMsg = rsa(baseNum, keyD, encodeMsg); System.out.println("加密前：" + msg); System.out.println("加密后：" + encodeMsg); System.out.println("解密后：" + decodeMsg); } }



再計算一次；
p=61,q=53
p*q=3233; 3233寫成二進制是110010100001，一共有12位，密鑰是12位；
φ(n) = (p-1)(q-1)
φ(3233)=60×52=3120
隨機選擇一個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質；
在1到3120之間，隨機選擇17；
計算e對于φ(n)的模反元素d；
已知 e=17, φ(n)=3120，
　　17x + 3120y = 1
這個方程可以用"擴展歐幾里得算法"求解；算出一組整數解為 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。

從新帶入數字計算，看下，碉堡了；

以上程序和數字都是根據網上資料來的；不知哪兒錯了；等有空再搞吧；

看程序可知，對于要加密的數字m, m^e%N=c, c就是加密之后的密文。c^d%N=m, 就能解密得到m

總結

以上是生活随笔為你收集整理的RSA加密算法原理和java简单实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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