城市規劃理論II 通勤與移居

• 公共交通
• • Beckmann連續交通模型
• 熵模型（Entropy Model）
• Hotelling's Migration Model
• • 基礎模型
  • 模型的修正

這其實不是按邏輯順序的第二篇博文，但我突然對這個topic感興趣就提前寫了。通勤指的是短期的市內或者市際的人員流動，移居則是長期地更換居住地，二者都分別有其他領域也在研究，比如交通科學、公共經濟學等，這篇博文主要就以城市規劃的數學模型作為落腳點進行探討。研究的目標是對兩地間的人流進行建模，進而對兩地間的交通設施規劃建設起到指導作用。

公共交通

假設兩個不同的地點分別用慣性系$(x,y)$與$(\xi ,\eta )$表示，其人口密度分別為$O(x,y)$，$D(\xi ,\eta )$，前者的O表示origin，后者的D表示destination。假設兩地的歐式距離為
$$t(x,y,\xi ,\eta )=\sqrt{(x?\xi {)}^2+(y?\eta {)}^2}$$
早期關于從起點到終點的人員流動的法則是Zipf法則，或者稱為重力法則，其直覺就是牛頓引力公式，認為兩地人員交互與兩地距離成反比，與兩地人口密度成正比。起點到終點的人員流量可以表示為
$$I(x,y,\xi ,\eta )=\frac{O(x,y)D(\xi ,\eta )}{t(x,y,\xi ,\eta )}$$
這個$I$指的是interaction。盡管這個公式看上去非常合理，但它其實是沒有理論支撐的，只是一個直覺上的經驗法則，并且缺乏一個具體的函數形式，因此需要對這個模型做更精細的推導。

Beckmann連續交通模型

先不考慮人口密度的影響，假設$O(x,y)=D(\xi ,\eta )=1$。定義人口流場（flow field）為$?$，則
$$I=????=\frac{1}{t}$$
人口流場是一個矢量場，$I$看成是它的通量，因此它的散度就是人口流動。流場與距離函數之間還有一個關系
$$\frac{?}{|?|}=?t$$
這里的梯度都是在慣性系$(x,y)$中求，這個公式后續的博文會講，這里先當成假設吧。考慮
$$\begin{gathered} ???=?|?|??t+|?|{?}^{2}t \\ =\frac{d|?|}{dt}+\frac{|?|}{t}=?\frac{1}{t} \end{gathered}$$
這個推導用到了場論的結論，不熟悉的話可以再回顧一下向量微積分或者場論。顯然這個式子是關于$|?|$的可分離變量型的一階ODE，可以直接寫出它的解是
$$|?|=\frac{T}{t}?1$$
這里的$T$是積分常數。考慮一下$|?|$的實際意義，它指的是從$(\xi ,\eta )$出發的經過$(x,y)$的人口總流動量。定義$i(x,y)$為經過$(x,y)$的人口總流動量，則
$$i(x,y)=?|?|d\xi d\eta =?(\frac{T}{t}?1)d\xi d\eta$$
考慮兩個慣性系之間的伽利略變換
$$\begin{gathered} \xi =x+tcos(\theta ) \\ \eta =y+tsin(\theta ) \end{gathered}$$
根據積分換元公式，可以將上述積分換到極坐標$(t,\theta )$中，
$$i(x,y)=?(\frac{T}{t}?1)dtd\theta$$
這個積分就可以用Fubini定理計算，得到
$$\begin{gathered} i(x,y)=2\pi (1?r^2) \\ r=\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$
這里指的交并不是指交通工具，它其實還是人的流動。早期的實證研究是認可這個模型的，但是這個理論只是對引力模型的細化，盡管有了一個人流的具體表達式，但還是缺乏理論支撐。科學家們從統計物理和經濟學的角度分別造出了理論來解釋人口流動，從統計物理的角度設計的模型叫熵模型，從經濟學角度設計的模型是Hotelling模型。

熵模型（Entropy Model）

熵模型，或者說Alan Wilson模型，它的直覺來自于描述粒子分布的Boltzmann定理。Boltzmann定理說的是處在不同能級的粒子數服從Boltzmann分布
$$\frac{N_i}{N}\propto e^{?E_i}$$
其中指數函數的形式可以由薛定諤方程得到，也可以由最大熵原理來得到。人流在不同地點的分布可以類比粒子在不同能級的分布，Alan Wilson用的最大熵原理來得到的分布形式。假設始發站$i$出發的人次用$O_i$表示，到達終點站$j$的人次用$D_i$表示，從$O_i$到$D_j$的旅行人次用$T_{ij}$表示。假設$T$是旅行總人次，則
$$T=\sum _i\sum _j{T}_{ij}=\sum _i{O}_i=\sum _j{D}_j$$
在給定了$T_{ij}$之后，所有旅行人次的路線可以用多項式系數來表示，記為
$$E=\frac{({\sum }_i{\sum }_j{T}_{ij})!}{{\sum }_i{\sum }_j{T}_{ij}!}$$
用Stirling公式將階乘近似為指數，并對$E$取對數可以得到
$$\begin{gathered} \log E\approx T(logT?1)?\sum _i\sum _j{T}_{ij}(log{T}_{ij}?1) \\ =TlogT?\sum _i\sum _j{T}_{ij}log{T}_{ij} \\ =\sum _i\sum _j{T}_{ij}(logT?log{T}_{ij}) \end{gathered}$$
定義這個人口流動系統的熵為
$$H=\frac{logE}{T}=?\sum _i\sum _j\frac{T_{ij}}{T}log(\frac{T_{ij}}{T})$$
根據熵增原理，系統的熵總是傾向于增大的，當這個人口流動系統均衡時，系統的熵應該取最大值。在沒有其他約束的時候，最大化熵總是會得到均勻分布，為了讓這個模型更符合實際，引入交通成本約束，用$c_{ij}$表示從$i$到$j$的交通成本，則
$$\sum _i\sum _j{c}_{ij}{T}_{ij}=T$$
再假設$O_i$與$D_j$是已知量，則這個最大熵問題就有了三個約束。在這種線性約束下，最大熵的結果必定是指數形式的。這個最優化問題無法找到解析解，可以用IIS（improved-iterative scaling）算法求解，參考Della Pietra et al （1997），之后寫信息論的博文的時候再介紹這個算法。

Hotelling’s Migration Model

Hotelling是著名的統計學家、經濟學家，他著名的成果包括多元統計的Hotelling T統計量，canonical 相關性分析，產業組織的Hotelling競爭模型等。

基礎模型

基礎模型由兩部分構成，第一部分是人口在隨時間的非線性增長，第二部分是人口在二維空間的線性擴散。假設人口增長服從Malthus模型
$$\frac{dp}{dt}=\gamma (s?p)p$$
其中$s$是平穩狀態的人口。這個是比較簡單的可分離變量型的ODE，其解為
$$p=\frac{s}{1+c{e}^{?\gamma t}}$$
$c$是積分常數。在Malthus模型中加入擴散項，模型可以擴展為
$$\frac{dp}{dt}=\gamma (s?p)p+\delta \Delta p$$
其中$\Delta =???$是Laplace算子，$\Delta p=0$是典型的擴散方程。假設$\delta$是人口擴散系數。從而空間中人口的增長與流動可以用這個PDE表示。

模型的修正

PDE中$s$的含義是人口增長的極限，它在基礎模型中被假設是一個常數，但事實上$s$具有再生產性。假設$s$是人口$p$的函數，則PDE可以被修正為
$$\frac{dp}{dt}=\gamma (s(p)?p)p+\delta \Delta p$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的城市规划理论II 通勤与移居的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。