城市規劃理論II 通勤與移居

• 公共交通
• • Beckmann連續交通模型
• 熵模型（Entropy Model）
• Hotelling's Migration Model
• • 基礎模型
  • 模型的修正

這其實不是按邏輯順序的第二篇博文，但我突然對這個topic感興趣就提前寫了。通勤指的是短期的市內或者市際的人員流動，移居則是長期地更換居住地，二者都分別有其他領域也在研究，比如交通科學、公共經濟學等，這篇博文主要就以城市規劃的數學模型作為落腳點進行探討。研究的目標是對兩地間的人流進行建模，進而對兩地間的交通設施規劃建設起到指導作用。

公共交通

假設兩個不同的地點分別用慣性系$(x,y)$與$(\xi ,\eta )$表示，其人口密度分別為$O(x,y)$，$D(\xi ,\eta )$，前者的O表示origin，后者的D表示destination。假設兩地的歐式距離為
$$t(x,y,\xi ,\eta )=\sqrt{(x?\xi {)}^2+(y?\eta {)}^2}$$
早期關于從起點到終點的人員流動的法則是Zipf法則，或者稱為重力法則，其直覺就是牛頓引力公式，認為兩地人員交互與兩地距離成反比，與兩地人口密度成正比。起點到終點的人員流量可以表示為
$$I(x,y,\xi ,\eta )=\frac{O(x,y)D(\xi ,\eta )}{t(x,y,\xi ,\eta )}$$
這個$I$指的是interaction。盡管這個公式看上去非常合理，但它其實是沒有理論支撐的，只是一個直覺上的經驗法則，并且缺乏一個具體的函數形式，因此需要對這個模型做更精細的推導。

Beckmann連續交通模型

先不考慮人口密度的影響，假設$O(x,y)=D(\xi ,\eta )=1$。定義人口流場（flow field）為$?$，則
$$I=????=\frac{1}{t}$$
人口流場是一個矢量場，$I$看成是它的通量，因此它的散度就是人口流動。流場與距離函數之間還有一個關系
$$\frac{?}{|?|}=?t$$
這里的梯度都是在慣性系$(x,y)$中求，這個公式后續的博文會講，這里先當成假設吧。考慮
$$\begin{gathered} ???=?|?|??t+|?|{?}^{2}t \\ =\frac{d|?|}{dt}+\frac{|?|}{t}=?\frac{1}{t} \end{gathered}$$
這個推導用到了場論的結論，不熟悉的話可以再回顧一下向量微積分或者場論。顯然這個式子是關于$|?|$的可分離變量型的一階ODE，可以直接寫出它的解是
$$|?|=\frac{T}{t}?1$$
這里的$T$是積分常數。考慮一下$|?|$的實際意義，它指的是從$(\xi ,\eta )$出發的經過$(x,y)$的人口總流動量。定義$i(x,y)$為經過$(x,y)$的人口總流動量，則
$$i(x,y)=?|?|d\xi d\eta =?(\frac{T}{t}?1)d\xi d\eta$$
考慮兩個慣性系之間的伽利略變換
$$\begin{gathered} \xi =x+tcos(\theta ) \\ \eta =y+tsin(\theta ) \end{gathered}$$
根據積分換元公式，可以將上述積分換到極坐標$(t,\theta )$中，
$$i(x,y)=?(\frac{T}{t}?1)dtd\theta$$
這個積分就可以用Fubini定理計算，得到
$$\begin{gathered} i(x,y)=2\pi (1?r^2) \\ r=\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$
這里指的交并不是指交通工具，它其實還是人的流動。早期的實證研究是認可這個模型的，但是這個理論只是對引力模型的細化，盡管有了一個人流的具體表達式，但還是缺乏理論支撐?？茖W家們從統計物理和經濟學的角度分別造出了理論來解釋人口流動，從統計物理的角度設計的模型叫熵模型，從經濟學角度設計的模型是Hotelling模型。

熵模型（Entropy Model）

熵模型，或者說Alan Wilson模型，它的直覺來自于描述粒子分布的Boltzmann定理。Boltzmann定理說的是處在不同能級的粒子數服從Boltzmann分布
$$\frac{N_i}{N}\propto e^{?E_i}$$
其中指數函數的形式可以由薛定諤方程得到，也可以由最大熵原理來得到。人流在不同地點的分布可以類比粒子在不同能級的分布，Alan Wilson用的最大熵原理來得到的分布形式。假設始發站$i$出發的人次用$O_i$表示，到達終點站$j$的人次用$D_i$表示，從$O_i$到$D_j$的旅行人次用$T_{ij}$表示。假設$T$是旅行總人次，則
$$T=\sum _i\sum _j{T}_{ij}=\sum _i{O}_i=\sum _j{D}_j$$
在給定了$T_{ij}$之后，所有旅行人次的路線可以用多項式系數來表示，記為
$$E=\frac{({\sum }_i{\sum }_j{T}_{ij})!}{{\sum }_i{\sum }_j{T}_{ij}!}$$
用Stirling公式將階乘近似為指數，并對$E$取對數可以得到
$$\begin{gathered} \log E\approx T(logT?1)?\sum _i\sum _j{T}_{ij}(log{T}_{ij}?1) \\ =TlogT?\sum _i\sum _j{T}_{ij}log{T}_{ij} \\ =\sum _i\sum _j{T}_{ij}(logT?log{T}_{ij}) \end{gathered}$$
定義這個人口流動系統的熵為
$$H=\frac{logE}{T}=?\sum _i\sum _j\frac{T_{ij}}{T}log(\frac{T_{ij}}{T})$$
根據熵增原理，系統的熵總是傾向于增大的，當這個人口流動系統均衡時，系統的熵應該取最大值。在沒有其他約束的時候，最大化熵總是會得到均勻分布，為了讓這個模型更符合實際，引入交通成本約束，用$c_{ij}$表示從$i$到$j$的交通成本，則
$$\sum _i\sum _j{c}_{ij}{T}_{ij}=T$$
再假設$O_i$與$D_j$是已知量，則這個最大熵問題就有了三個約束。在這種線性約束下，最大熵的結果必定是指數形式的。這個最優化問題無法找到解析解，可以用IIS（improved-iterative scaling）算法求解，參考Della Pietra et al （1997），之后寫信息論的博文的時候再介紹這個算法。

Hotelling’s Migration Model

Hotelling是著名的統計學家、經濟學家，他著名的成果包括多元統計的Hotelling T統計量，canonical 相關性分析，產業組織的Hotelling競爭模型等。

基礎模型

基礎模型由兩部分構成，第一部分是人口在隨時間的非線性增長，第二部分是人口在二維空間的線性擴散。假設人口增長服從Malthus模型
$$\frac{dp}{dt}=\gamma (s?p)p$$
其中$s$是平穩狀態的人口。這個是比較簡單的可分離變量型的ODE，其解為
$$p=\frac{s}{1+c{e}^{?\gamma t}}$$
$c$是積分常數。在Malthus模型中加入擴散項，模型可以擴展為
$$\frac{dp}{dt}=\gamma (s?p)p+\delta \Delta p$$
其中$\Delta =???$是Laplace算子，$\Delta p=0$是典型的擴散方程。假設$\delta$是人口擴散系數。從而空間中人口的增長與流動可以用這個PDE表示。

模型的修正

PDE中$s$的含義是人口增長的極限，它在基礎模型中被假設是一個常數，但事實上$s$具有再生產性。假設$s$是人口$p$的函數，則PDE可以被修正為
$$\frac{dp}{dt}=\gamma (s(p)?p)p+\delta \Delta p$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的城市规划理论II 通勤与移居的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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