UA MATH571B 試驗(yàn)設(shè)計(jì)II 簡(jiǎn)單試驗(yàn)的分析方法

• Type I Error與Type II Error
• 單正態(tài)總體樣本的假設(shè)檢驗(yàn)
• • Z檢驗(yàn)
  • t檢驗(yàn)
• 雙正態(tài)總體樣本的假設(shè)檢驗(yàn)
• • Z檢驗(yàn)
  • t檢驗(yàn)
  • • 同方差
    • 異方差
• 配對(duì)t檢驗(yàn)

Type I Error與Type II Error

這里用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明這兩種錯(cuò)誤。尿白蛋白與肌酐比值（Urinary Albumin to Creatinine Ratio，ACR）是腎臟化驗(yàn)的一個(gè)化驗(yàn)項(xiàng)，正常范圍是小于3。這個(gè)指標(biāo)用來衡量尿液中的蛋白質(zhì)數(shù)量，如果腎臟發(fā)生病變從血液漏入尿液中的蛋白質(zhì)就會(huì)超出正常范圍。假設(shè)患有腎病的個(gè)體ACR為$Y_1$，未患腎病的個(gè)體ACR為$Y_0$，其中$Y_1$的概率密度為$f(y,{\theta }_1)$，$Y_0$的概率密度為$f(y,{\theta }_0)$。人群中患腎病的個(gè)體占比為$\pi$，未患腎病的個(gè)體占比為$1?\pi$，則人群ACR記為$Y$，其分布為
$$f(y)=\pi f(y,{\theta }_1)+(1?\pi )f(y,{\theta }_0)$$
記其均值為$\mu$，則ACR檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)法則可以用單側(cè)檢驗(yàn)表示
$$\begin{gathered} H_0:\mu <{\mu }_0 \\ {H}_a:\mu \ge {\mu }_0 \end{gathered}$$
其中${\mu }_0=3$。現(xiàn)在分析一下這個(gè)檢驗(yàn)。在假設(shè)檢驗(yàn)中，Type I Error（也叫false positive rate，假陽性）是
$$\alpha =P[reject{H}_0|H_{0}istrue]$$
Type II Error（也叫false negative rate，假陰性）是
$$\beta =P[accept{H}_0|H_{a}istrue]$$
檢驗(yàn)的勢(shì)被定義為
$$Power=1?\beta =P[reject{H}_0|H_{1}istrue]$$
在這個(gè)例子中，Type I Error就是未患腎病的個(gè)體被醫(yī)生認(rèn)為患有腎病，Type II Error就是患有腎病的個(gè)體被醫(yī)生認(rèn)為未患腎病。計(jì)算一下這兩類錯(cuò)誤發(fā)生的概率以及檢驗(yàn)的勢(shì)
$$\begin{gathered} \alpha ={\int }_{{\mu }_0}^{+\infty }f(y,{\theta }_0)dy \\ \beta ={\int }_0^{{\mu }_0}f(y,{\theta }_1)dy \\ Power=1?\beta ={\int }_{{\mu }_0}^{+\infty }f(y,{\theta }_1)dy \end{gathered}$$
其中
$$\frac{?\alpha }{{\mu }_0}=?f(y,{\theta }_0)<0,\frac{?\beta }{{\mu }_0}=f(y,{\theta }_1)>0$$
因此隨著判斷準(zhǔn)則在$(0,+\infty )$之間增加的時(shí)候，假陽性的概率會(huì)逐漸減小，假陰性的概率會(huì)逐漸增大，二者總是此消彼長(zhǎng)的。假設(shè)檢驗(yàn)的目標(biāo)一般是在給定的$\alpha$的情況下，找到最優(yōu)的critical region最大化檢驗(yàn)的勢(shì)。

單正態(tài)總體樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

$f(y,{\theta }_0)$與$f(y,{\theta }_1)$正態(tài)分布，假設(shè)前者均值為${\mu }_0$、標(biāo)準(zhǔn)差為${\sigma }_0$，為了驗(yàn)證ACR的正常范圍是小于3這個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)是否合理，現(xiàn)在從$f(y,{\theta }_0)$中隨機(jī)抽取了12個(gè)個(gè)體，測(cè)得其ACR為

個(gè)體123456789101112

1.1	1.7	1.9	2.0	2.0	2.1	2.2	2.7	2.9	3.2	3.3	3.8

假設(shè)未患腎病群體ACR均值用${\mu }_0$表示，假設(shè)檢驗(yàn)為
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0=3 \\ {H}_a:{\mu }_0<3 \end{gathered}$$
假設(shè)未患腎病群體ACR的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本為$\{X_1,?,X_n\}$，則樣本均值$\bar{X}$是${\mu }_0$的UMVUE。

Z檢驗(yàn)

假設(shè)單正態(tài)總體${\sigma }_0$已知，要檢驗(yàn)均值是否等于一個(gè)已知量$c$，可以使用Z檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)水平為$\alpha$（這個(gè)$\alpha$就是假陽性的概率）
$$Z?\frac{\bar{X}?c}{{\sigma }_0/\sqrt{n}}～N(0,1)$$
雙邊檢驗(yàn)
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0=c \\ {H}_a:{\mu }_0=c \end{gathered}$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$|Z|\ge Z_{\alpha /2}?\bar{X}\in (?\infty ,c?\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha /2}]\cap [c+\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha /2},\infty )$$
P值為
$$p=2[1?\Phi (|Z|)]$$
單邊檢驗(yàn)分為左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)，左側(cè)檢驗(yàn)為
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0\ge c \\ {H}_a:{\mu }_0<c \end{gathered}$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$Z<?Z_{\alpha }?\bar{X}\in (?\infty ,c?\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha })$$
P值為
$$p=\Phi (Z)$$
右側(cè)檢驗(yàn)為
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0\le c \\ {H}_a:{\mu }_0>c \end{gathered}$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$Z>Z_{\alpha }?\bar{X}\in (c+\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha },\infty )$$
P值為
$$p=1?\Phi (Z)$$
需要注意的是，往往這個(gè)${\sigma }_0$是一個(gè)猜測(cè)值或者經(jīng)驗(yàn)值，所以我們也需要檢驗(yàn)一下真實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差是不是這個(gè)
$$\begin{gathered} H_0:Var(X)={\sigma }_0^2 \\ {H}_a:Var(X)={\sigma }_0^2 \end{gathered}$$
用樣本方差$S^2$構(gòu)造Chi統(tǒng)計(jì)量
$${\chi }_0^2=\frac{(n?1)S^2}{{\sigma }_0^2}～{\chi }^2(n?1)$$
假設(shè)檢驗(yàn)水平為$\alpha$，原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $${\chi }_0^2\in [0,{\chi }^2(\alpha /2,n?1)]\cap [{\chi }^2(1?\alpha /2,n?1),\infty )$$

t檢驗(yàn)

假設(shè)單正態(tài)總體${\sigma }_0$未知，要檢驗(yàn)均值是否等于一個(gè)已知量$c$，可以使用t檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)水平為$\alpha$
$$T?\frac{\bar{X}?c}{S/\sqrt{n}}～t(n?1)$$
雙邊檢驗(yàn)
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0=c \\ {H}_a:{\mu }_0=c \end{gathered}$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$|T|\ge t_{\alpha /2,n?1}?\bar{X}\in (?\infty ,c?\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2,n?1}]\cap [c+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2,n?1},\infty )$$
單邊檢驗(yàn)分為左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)，左側(cè)檢驗(yàn)為
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0\ge c \\ {H}_a:{\mu }_0<c \end{gathered}$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$T<?t_{\alpha ,n?1}?\bar{X}\in (?\infty ,c?\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha ,n?1})$$
右側(cè)檢驗(yàn)為
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_0\le c \\ {H}_a:{\mu }_0>c \end{gathered}$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$T>t_{\alpha ,n?1}?\bar{X}\in (c+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha ,n?1},\infty )$$

雙正態(tài)總體樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)數(shù)據(jù)生成過程（DGP，data generating process）是
$$y_{ij}={\mu }_i+{?}_{ij},{?}_{ij}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2),i=1,2;j=1,?,n$$
$y_{ij}$是第$i$組試驗(yàn)的第$j$個(gè)試驗(yàn)單位的response的值，這個(gè)模型認(rèn)為這個(gè)值由兩部分組成，一部分是第$i$組試驗(yàn)的組內(nèi)平均${\mu }_i$，另一部分是隨機(jī)誤差${?}_{ij}$。兩正態(tài)總體樣本的假設(shè)檢驗(yàn)想研究的問題其實(shí)是${\mu }_1$與${\mu }_2$的大小關(guān)系，從而比較兩種不同的試驗(yàn)處理對(duì)response的影響。對(duì)于比較一般的情況，假設(shè)第一組試驗(yàn)的方差為${\sigma }_1^2$，試驗(yàn)單位數(shù)目為$n_1$；第一組試驗(yàn)的方差為${\sigma }_2^2$，試驗(yàn)單位數(shù)目為$n_2$。

Z檢驗(yàn)

當(dāng)${\sigma }_1$與${\sigma }_2$已知時(shí)，可以用Z檢驗(yàn)。
雙邊檢驗(yàn)：
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1={\mu }_2 \\ {H}_a:{\mu }_1={\mu }_2 \end{gathered}$$
構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量
$$Z=\frac{{\bar{y}}_1?{\bar{y}}_1}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}～N(0,1)$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$|Z|\ge Z_{\alpha /2}$$
P值為
$$p=2[1?\Phi (|Z|)]$$
單側(cè)檢驗(yàn)與單樣本的類似。

t檢驗(yàn)

當(dāng)${\sigma }_1$與${\sigma }_2$未知時(shí)，可以用t檢驗(yàn)。考慮雙邊檢驗(yàn)：

同方差

如果${\sigma }_1={\sigma }_2$，t統(tǒng)計(jì)量為
$$\begin{gathered} T=\frac{{\bar{y}}_1?{\bar{y}}_1}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}～t(v) \\ v=n_1+n_2?2 \end{gathered}$$
但如果不確定同方差是不是真的成立需要做同方差檢驗(yàn)
$$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$$
這個(gè)可以用F檢驗(yàn)，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量
$$F_0=\frac{S_1^2}{S_2^2}～F(n_1?1,n_2?1)$$
原假設(shè)的拒絕域?yàn)?br /> $$F_0\in [0,F(\alpha /2,n_1?1,n_2?1)]\cap [F(1?\alpha /2,n_1?1,n_2?1),\infty )$$

異方差

如果上面的檢驗(yàn)拒絕了原假設(shè)，還是可以用t檢驗(yàn)，只是自由度的計(jì)算要改成
$$v=\frac{(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}{)}^2}{\frac{(\frac{S_1^2}{n_1}{)}^2}{n_1?1}+\frac{(\frac{S_2^2}{n_2}{)}^2}{n_2?1}}$$

配對(duì)t檢驗(yàn)

配對(duì)t檢驗(yàn)（paired t test）與兩樣本的t檢驗(yàn)有區(qū)別。配對(duì)t檢驗(yàn)是處理配對(duì)比較試驗(yàn)（paired comparison）的統(tǒng)計(jì)方法。舉一個(gè)比較簡(jiǎn)單的配對(duì)比較試驗(yàn)的例子。某桑拿房宣稱自家定制桑拿配合自創(chuàng)按摩服務(wù)可以治療高血脂。某公眾號(hào)團(tuán)隊(duì)為了驗(yàn)證這家桑拿房的說法，隨機(jī)選擇了$2n$個(gè)人。測(cè)量并記錄其初始的血清總膽固醇（TC），并將TC相近的分為一對(duì)，記其TC均值為$\{{\beta }_i{\}}_{i=1}^n$。在每一對(duì)中隨機(jī)抽一人去體驗(yàn)這家桑拿房定制桑拿配合自創(chuàng)按摩服務(wù)，另一個(gè)人去普通的桑拿房。體驗(yàn)完畢后測(cè)血清總膽固醇為$\{(y_{1i},y_{2i}){\}}_{i=1}^n$，其中$1$是去體驗(yàn)定制桑拿配合自創(chuàng)按摩服務(wù)那一組。則建立體驗(yàn)完畢后TC的統(tǒng)計(jì)模型
$$\begin{gathered} y_{ij}={\mu }_i+{\beta }_j+{?}_{ij} \\ {?}_{ij}{～}_{iid}N(0,{\sigma }_i^2);i=1,2;j=1,?,n \end{gathered}$$
則我們要研究的問題可以寫成假設(shè)檢驗(yàn)
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1<{\mu }_2 \\ {H}_a:{\mu }_1\ge {\mu }_2 \end{gathered}$$
從統(tǒng)計(jì)模型上來看配對(duì)t檢驗(yàn)和兩樣本t檢驗(yàn)就是有明顯差別的，配對(duì)t檢驗(yàn)一般用來處理成對(duì)數(shù)據(jù)的問題。記$$d_j=y_{1j}?y_{2j}={\mu }_1?{\mu }_2+({?}_{1j}?{?}_{2j})$$，定義${\mu }_d={\mu }_1?{\mu }_2$，則假設(shè)檢驗(yàn)又可以寫成
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_d<0 \\ {H}_a:{\mu }_d\ge 0 \end{gathered}$$
由于$d_j$是服從正態(tài)分布的，所以這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)可以用單正態(tài)總體樣本的t檢驗(yàn)來做。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计II 简单试验的分析方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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