UA MATH571B 試驗設計III 單因素試驗設計3

• Contrast
• • 多個contrast的聯合推斷
• 配對比較
• • Tukey檢驗
  • Fisher Least Significant Difference方法
  • Dunnett方法

在單因素ANOVA模型中，有時需要對treatment effect做一些其他比較。以下方法就是用來各種不同的比較的。

Contrast

在均值模型中
$$\begin{gathered} y_{ij}={\mu }_i+{?}_{ij},{?}_{ij}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2) \\ i=1,2,?,a;j=1,2,?,n \end{gathered}$$
假設要做下列假設檢驗
$$H_0:L=\sum _{i=1}^a{c}_i{\mu }_i=L_0$$
其中$c_i$可以是任何常數。先考慮$L$的估計量
$$\hat{L}=\sum _{i=1}^a{c}_i{\hat{\mu }}_i=\sum _{i=1}^a{c}_i{\bar{y}}_{i.}$$
顯然這個估計量是正態的，其方差為
$$Var(\hat{L})=\sum _{i=1}^a{c}_i^{2}Var({\bar{y}}_{i.})=\sum _{i=1}^a{c}_i^2\frac{{\sigma }^2}{n_i}$$
其中${\sigma }^2$的估計量是$MSE$，由此可以構造t統計量
$$\frac{\hat{L}?L_0}{\sqrt{MSE{\sum }_{i=1}^a\frac{c_i^2}{n_i}}}～t(N?a)$$
用t檢驗來做。
在上面的線性組合中，如果${\sum }_{i=1}^a{c}_i=0$，則稱這樣的線性組合為一個contrast，定義此時的線性組合為$\Gamma ={\sum }_{i=1}^a{c}_i{\mu }_i$，通常關于constrast的檢驗是$H_0:\Gamma =0$，這個檢驗也用t檢驗做。如果兩個contrast的系數$c_i$和$d_i$滿足
$$\sum _{i=1}^a{c}_i{d}_i{n}_i=0$$
則稱這兩個contrast正交。需要注意的是contrast是在試驗之前要設計好的，避免做了試驗拿到了數據之后再來選哪些檢驗能顯著！

多個contrast的聯合推斷

假設要做多個contrast的假設檢驗
$$H_0:{\Gamma }_1={\Gamma }_{10},?,{\Gamma }_m={\Gamma }_{m0}$$
假設$C{I}_1,?,C{I}_m$是每一個contrast的$100(1?\alpha )\%$置信區間，則
$$P({\Gamma }_{i0}\in /C{I}_i|H_0)=\alpha$$
但要要拒絕原假設，只需要任一${\Gamma }_{i0}\in /C{I}_i$，根據Bonferroni不等式，假設要讓在原假設成立時拒絕原假設的概率保持為$\alpha$，需要$P({\Gamma }_{i0}\in /C{I}_i|H_0)={\alpha }^{\prime }$
$$P(atleastonei{\Gamma }_{i0}\in /C{I}_i|H_0)\le \sum _{i=1}^{m}P({\Gamma }_{i0}\in /C{I}_i|H_0)=m{\alpha }^{\prime }$$
近似地可以有${\alpha }^{\prime }=\alpha /m$。如果這些$constrast$是正交了，它們的估計量就是獨立的，因此上式可以直接取等，并且可以用一個ANOVA同時做這個檢驗。${\alpha }^{\prime }=\alpha /m$表明如果希望假陽性是$\alpha$，那么每一個置信區間$C{I}_i$需要用置信水平$100(1?\alpha /m)\%$來構造，這種做聯合推斷的調整叫Bonferroni調整。
另一種做聯合推斷的方法是Scheffe方法。根據Scheffe方法構造的單個contrast的置信區間為
$${\hat{\Gamma }}_i?\sqrt{(a?1)F_{\alpha ,a?1,N?a}}\sqrt{MSE\sum _{i=1}^a\frac{c_i^2}{n_i}}\le {\Gamma }_i\le {\hat{\Gamma }}_i+\sqrt{(a?1)F_{\alpha ,a?1,N?a}}\sqrt{MSE\sum _{i=1}^a\frac{c_i^2}{n_i}}\le {\Gamma }_i$$
如果$m$比較大就用Scheffe，如果$m$比較小就用Bonferroni。

配對比較

假設要對所有的treatment group mean做兩兩比較，$?i=j$
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_i={\mu }_j \\ {H}_a:{\mu }_i={\mu }_j \end{gathered}$$

Tukey檢驗

如果試驗是平衡的，可以用Tukey檢驗，如果試驗是不平衡的，可以用Tukey-Kramer方法。因為思路都一樣，這里介紹Tukey檢驗。首先構造
$$q=\frac{{\bar{y}}_{max}?{\bar{y}}_{min}}{\sqrt{MSE/n}}$$
其中${\bar{y}}_{max}$與${\bar{y}}_{min}$是待比較的$p$個組內平均的最大值和最小值，它的分布可以查表，記為$q_{\alpha }(p,f)$，其中$\alpha$是百分比，$q_{\alpha }$代表上分位點，$f$是$MSE$的自由度。Tukey檢驗給出的${\mu }_i?{\mu }_j$的置信區間邊界
$${\bar{y}}_{i.}?{\bar{y}}_{j.}\pm q_{\alpha }(a,f)\sqrt{MSE/n}$$

Fisher Least Significant Difference方法

因為兩總體比較${\mu }_i?{\mu }_j$的置信區間邊界可以寫成
$${\bar{y}}_{i.}?{\bar{y}}_{j.}\pm t_{\alpha /2,N?a}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}$$
定義
$$LSD=t_{\alpha /2,N?a}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}$$
為Least Significant Difference，代表置信區間的長度。用這個值進行比較的過程是計算$|{\bar{y}}_{i.}?{\bar{y}}_{j.}|$，如果比LSD大就認為${\mu }_i?{\mu }_j$顯著異于0。

Dunnett方法

如果有一組是對照組，那么實驗組的結果都要與它比較。假設對照組是第$a$組，則需要做的假設檢驗是$?i=1,?,a?1$，
$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_i={\mu }_a \\ {H}_a:{\mu }_i={\mu }_a \end{gathered}$$
Dunnett方法與Fisher LSD比較像，都是給一個判別值判斷均值的差是否超過了判別值。Dunnett方法的判別值是
$$d_{\alpha }(a?1,N?a)\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}$$
需要注意的是$\alpha$是這$a?1$個假設檢驗的聯合type I error。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计III 单因素试验设计3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。