UA MATH565C 隨機微分方程III Ito Isometry

定義$f_t,g_t$是step process，$?0=t_0<t_1?<t_n=t$，
$$\begin{gathered} f_t=f_j,t\in [t_j,t_{j+1}),j=0,?,n?1 \\ {f}_t=0,t\ge t_n \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} g_t=g_j,t\in [t_j,t_{j+1}),j=0,?,n?1 \\ {g}_t=0,t\ge t_n \end{gathered}$$
則Ito Isometry指的是
$$E\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s{\int }_0^t{g}_{s}d{W}_s\right]={\int }_0^{t}E\left[f_s{g}_s\right]ds$$

證明
$$\begin{gathered} E\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s{\int }_0^t{g}_{s}d{W}_s\right] \\ =E\left[\sum _{j=0}^{n?1}{f}_j{\Delta }_j{W}_t\sum _{k=0}^{n?1}{g}_k{\Delta }_k{W}_t\right] \\ =\sum _{j=0}^{n?1}\sum _{k=0}^{n?1}E\left[f_j{g}_k{\Delta }_k{W}_t{\Delta }_j{W}_t\right] \end{gathered}$$
如果$j<k$
$$E\left[f_j{g}_k{\Delta }_k{W}_t{\Delta }_j{W}_t\right]=E\left[f_j{g}_k{\Delta }_j{W}_t\right]E[{\Delta }_k{W}_t]=0$$
這里獨立性的用法與性質2一樣；如果$j=k$
$$E\left[f_j{g}_j{\Delta }_j{W}_t{\Delta }_j{W}_t\right]=E\left[f_j{g}_j\right]E[{\Delta }_j{W}_t{\Delta }_j{W}_t]=E\left[f_j{g}_j\right]{\Delta }_{j}t$$
所以
$$E\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s{\int }_0^t{g}_{s}d{W}_s\right]=\sum _{j=0}^{n?1}E\left[f_j{g}_j\right]{\Delta }_{j}t$$
顯然右邊這個是簡單可測函數的Lebesgue積分：
$${\int }_0^{t}E\left[f_s{g}_s\right]ds$$
綜上
$$E\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s{\int }_0^t{g}_{s}d{W}_s\right]={\int }_0^{t}E\left[f_s{g}_s\right]ds$$
證畢。

關于這個性質再做一些評注。左邊這個表達式$E\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s{\int }_0^t{g}_{s}d{W}_s\right]$，展開來寫是
$${\int }_{\Omega }\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s{\int }_0^t{g}_{s}d{W}_s\right]dP$$
它可以看成是Hilbert空間$L^2(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$上的內積。右邊的表達式${\int }_0^{t}E\left[f_s{g}_s\right]ds$展開來寫是
$${\int }_0^t{\int }_{\Omega }{f}_s{g}_{s}d\lambda ?P$$
這個是Hilbert空間$L^2(\Omega \times [0,\infty ),\mathcal{F}?\mathcal{B}([0,\infty )),\lambda ?P)$上的積分。這個Hilbert空間的$\sigma$代數其實就是是我們一開始定義的隨機過程的那個$\sigma$代數。Isometry的含義是等距同構，假設Hilbert空間$L^2(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$就用那個內積導出的距離，然后用右邊的表達式展開的那個積分作為Hilbert空間$L^2(\Omega \times [0,\infty ),\mathcal{F}?\mathcal{B}([0,\infty )),\lambda ?P)$上距離，考慮映射：
$$J_0:L^2(\Omega \times [0,\infty ),\mathcal{F}?\mathcal{B}([0,\infty )),\lambda ?P)\to L^2(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$$
根據性質3，在上面兩個距離（$f_s$與$g_s$的距離）的定義下，這兩個空間是等距同構的，$J_0$是他們的同構映射，所以性質3叫做Ito Isometry。

這個性質有一個非常常用的推論：如果$f=g$
$$E{\left[{\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s\right]}^2={\int }_0^{t}E{\left[f_s\right]}^{2}ds$$

總結

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