UA MATH ECE636 信息論10 Non-adaptive Group Testing

• d-disjunct
• • Reed-Solomon Code方法

上一講主要介紹的是AGT，這一講介紹NAGT。比較有效的做NAGT的方法是用RS code。首先定義testing matrix $M\in {\mathbb{R}}^{T\times N}$，矩陣第$i$行第$j$列為1表示對第$j$個樣本做第$i$個檢測，因此第$i$行表示對哪些樣本做了檢測$i$，第$j$列表示樣本$j$接受了哪些檢測。假設$y_i$表示第$i$個檢測的所有檢測結果中是否有取值為1的，如果有則$y_i=1$，否則$y_i=0$。

NAGT的目標是設計一個testing matrix最小化$T$，并保證根據$y_i$的結果可以decode出$N$個樣本中的$d$個取值為一的樣本。用編碼的語言來描述就是輸入的信號用01編碼，信號長$N$，有$d$個字是1，經過信道編碼傳輸后收到的碼是長度為$T$的01序列$\{y_1,?,y_T\}$，目標是最小化$T$，并能造一個解碼算法能從$\{y_1,?,y_T\}$中把信號還原出來。

d-disjunct

關于$M$有一個比較重要的定理：

定理 如果$M$有d-disjunct property，則存在一個解碼算法能從$\{y_1,?,y_T\}$中把信號還原出來。
d-disjunct $?c_i$表示第$i$個列向量，以及任意$d$個不同的列向量$c_{j_1},?,c_{j_d}$，存在一個行向量$r_k$，這個行向量與$c_i$相交的元素為$M_{ki}=1$，與其他$d$個列向量相交的元素為$M_{k{j}_1}=?=M_{k{j}_d}=0$。

這個定理證明只需要構造一個算法即可。對于$y_i=1$，如果行向量$r_i$中只有一個1，那么就這這個1對應的樣本取值為1，如果$r_i$有多個1，那么這一列就不看了，因為提供的信息太多了。對于$y_i=0$，行向量$r_i$中所有1對應的樣本都是取值為$0$的樣本。對于$y_i,i=1,?,T$，判斷完了之后答案就出來了。

所以真正的問題是怎么才能構造一個d-disjunct matrix作為$M$?

Reed-Solomon Code方法

考慮$GF(q)$上的RS-code $(q,k,q?k+1)$，這個code可以產生$q^k$種codeword，每一種長度為$q$。我們可以用RS code構造一個$q^2\times q^k$的矩陣，使得
$$N=q^k,T=q^2$$
我們可以證明
$$T=O(d^2(\log N/\log d{)}^2)$$
也就是說NAGT的方法相比AGT的方法來說復雜度要高一點（除非$d<<N$），就是需要的檢測的數量還是更多一點的，但之前也說過NAGT的好處是可以并行，有更高的計算速度，所以NAGT和AGT就是在檢測量和檢測速度之間做tradeoff。

注意到$q^k$就是codeword的總數，所以每個列向量先填入一個RS code的codeword。這樣的話矩陣還只有$q$行，再加上我們希望矩陣是01矩陣，所以用uniquely decodable的（字長為$q$的）01編碼來替換RS code的$\{0,1,?,q?1\}$即可，比如$0$就可以用$100?0$，1可以用$010?0$。

定理 按上述方法構造的$M$是d-disjunct的，
$$d=[\frac{q?1}{k?1}]$$

證明
因為$M$是按RS code來構造的，所以$c_i$與$c_{j_1},?,c_{j_d}$中的每一個最少有$q?k+1$個元素不同，最多有$k?1$個元素相同。要使d-disjunct成立，則
$$q>d(k?1)$$
即考慮最壞的情況，假設$c_i$與$c_{j_1},?,c_{j_d}$中的每一個相同的元素都位于不同的行，我們需要至少能找出一個$c_i$中的元素使得同一行中對應的$c_{j_1},?,c_{j_d}$中的元素都不相同。因為$q$是整數，所以上式又等價于
$$q?1\ge d(k?1)$$
從而
$$d\le [(q?1)/(k?1)]$$
給定條件我們希望$d$越大（越大說明設計的檢測方法檢測能力越強）。

現在再考慮
$$T=q^2,N=q^k$$
后一個方程說明了選擇$k$的方式為
$$k=[\log N/\log q]$$
根據這個不等式以及$d\le [(q?1)/(k?1)]$，我們發現可以取
$$q=d[\log N/\log d]$$
帶入到第一個方程中
$$T=O(d^2(\log N/\log d{)}^2)$$
這種方法在$d$非常小、$N$非常大的時候尤其適用。

總結

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