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UA MATH565C 随机微分方程V Stationary Measure

發(fā)布時間：2025/4/14 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH565C 随机微分方程V Stationary Measure 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA MATH565C 隨機微分方程V Stationary Measure

Markov Property
Stationary Measure
- PDE方法

這一講試圖回答的問題是基于Homogeneous Markov Family及其對應的轉移函數 $P(t,x,Γ)P(t,x,\Gamma)$ ，怎么構造它的平穩(wěn)測度（可以類比馬爾科夫鏈，有了轉移概率矩陣要算平穩(wěn)分布）。

Markov Property

假設 $ξt\xi_t$ 是一個Markov Family，上一講提到shift operator的作用是
$?w∈Ω,?h>0,?wh+∈Ω,?t∈T,ξt(wh+)=ξt+h(w)\forall w \in \Omega,\forall h>0,\exists w_h^+ \in \Omega, \forall t \in \mathcal{T},\xi_t(w_h^+) = \xi_{t+h}(w)$
記為 $θhξt(w)=ξt(wh+)\theta_h \xi_t(w) = \xi_{t}(w_h^+)$ 。注意 $w_h^+$ 可以不具有唯一性。定義shift算子的逆為
$θh?1A={w:wh+∈A,A∈FT}\theta^{-1}_hA = \{w:w_h^+ \in A,A \in \mathcal{F}_T\}$

現在回到Homogeneous Markov Family以及轉移概率 $P(t,x,Γ)P(t,x,\Gamma)$ ，因為
$P(s,x,t,Γ)=P(t?s,x,Γ)P(s,x,t,\Gamma) = P(t-s,x,\Gamma)$
因此 $Ps,x[θs?1B]=P0,x[B],?B∈FTP_{s,x}[\theta^{-1}_s B]=P_{0,x}[B],\forall B \in \mathcal{F}_T$ 。也就是說通過shift operator可以用 $Px?P0,xP_x \triangleq P_{0,x}$ 表示 $P(s,x,Γ)P(s,x,\Gamma)$ ：
$Px[ξt+h∈Γ∣F≤t]=P(h,ξt,Γ)P_x[\xi_{t+h} \in \Gamma|\mathcal{F}_{\le t}] = P(h,\xi_t,\Gamma)$
吐個槽，個人覺得這樣寫只是符號上簡潔了一點。。。

Stationary Measure

之前定義了Markov Family關于函數與測度的算子 $P^t$ ，這一講定義算子 $?ν,f?\langle \nu,f \rangle$ 表示函數 $f$ 在測度 $ν\nu$ 上的積分，
$?ν,f?=∫Ωf(x)ν(dx)\langle \nu,f \rangle = \int_{\Omega} f(x) \nu(dx)$
這個算子有一個有用的性質：
$?νPt,f?=?ν,Ptf?\langle \nu P^t ,f \rangle = \langle \nu,P^t f \rangle$
其中
$Ptf(x)=∫Ωf(y)P(t,x,dy)νPt(Γ)=∫Γν(dx)P(t,x,Γ)P^{t}f(x) = \int_{\Omega} f(y) P(t,x,dy) \\ \nu P^{t}(\Gamma) = \int_{\Gamma} \nu(dx) P(t,x,\Gamma)$
上面那個性質其實本質就是Fubini定理。
$?νPt,f?=∫Ωf(x)∫Ων(dy)P(t,x,dy)=∫Ω∫ΩP(t,x,dy)f(dy)ν(dx)?ν,Ptf?=∫Ων(dx)∫ΩP(t,x,dy)f(dy)=∫Ω∫ΩP(t,x,dy)f(dy)ν(dx)\langle \nu P^t ,f \rangle = \int_{\Omega} f(x) \int_{\Omega} \nu(dy)P(t,x,dy) = \int_{\Omega}\int_{\Omega} P(t,x,dy)f(dy) \nu(dx) \\ \langle \nu,P^t f \rangle = \int_{\Omega} \nu(dx) \int_{\Omega} P(t,x,dy)f(dy) = \int_{\Omega}\int_{\Omega} P(t,x,dy)f(dy) \nu(dx)$
定義平穩(wěn)測度為 $μ\mu$ ：
$μ=μPt,?t\mu = \mu P^t,\forall t$

之前討論了算子半群的infinitesimal generator $A$ 滿足 $Pt=etA,?Pt∈DAP^t = e^{tA},\forall P^t \in D_A$ ，它對函數與測度的作用分別是：
$\lim_{t \to 0} \frac{P^t f - f}{t} \\ \nu A = \lim_{t \to 0} \frac{\nu P^t - \nu}{t}$
這個infinitesimal generator在 $D_A$ 中的作用類似于微分算子，這里不加證明地給出一個結論：
$ddtPtf=APtf\fracozvdkddzhkzd{dt} P^tf = AP^tf$
因此上面的平穩(wěn)測度就會滿足：
$μA=0\mu A = 0$
這個結論給我們的直覺是隨機過程的SDE可以化歸為其測度的PDE，通常可以表示成概率密度的PDE，例子可以參考我575B那個系列的的統計物理的隨機模擬方法1，因此從這個方程出發(fā)尋找平穩(wěn)測度的思路是先論證這個測度有一個密度，然后把這個方程化歸為密度的PDE求解。

PDE方法

定義 $P^tf = E_x[f(\xi_t)]$ ，則它是下面的PDE的唯一有界解。
$?u(t,x)?t=Au(t,x)\frac{\partial u(t,x)}{\partial t} = Au(t,x)$

定義 $E_x[\int_0^{t} g(\xi_s)ds]$ ，根據Fubini定理，這個定義等價于
$∫0tEx[g(ξs)]ds=∫0tPsgds\int_0^{t}E_x[ g(\xi_s)]ds = \int_0^{t}P^s gds$
因此
$?v(t,x)?t=Ptg\frac{\partial v(t,x)}{\partial t} = P^tg$
這個PDE也可以用infinitesimal generator來表示：
$A\int_0^{t}P^s gds =\int_0^{t} \fracozvdkddzhkzd{ds} P^s gds =(P^t-I)g \\ \frac{\partial v(t,x)}{\partial t} = Av(t,x) + g$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程V Stationary Measure的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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