统计决策理论2 条件分布上
統(tǒng)計(jì)決策理論2 條件分布上
給定一個(gè)可測(cè)的樣本空間(Ω,S)(\Omega,\mathbf{S})(Ω,S)，定義Cap(Ω,S)Cap(\Omega,\mathbf{S})Cap(Ω,S)表示這個(gè)可測(cè)空間所有可能的概率測(cè)度的集合。在Kolmogorov公理化體系下，我們對(duì)概率測(cè)度的完備性是沒有要求的，這是概率論中通常不需要在同一個(gè)樣本空間中處理多種不同的分布。但在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們經(jīng)常需要在同一個(gè)樣本空間中處理不同的分布，所以這里先給出S\mathbf{S}S的完備化。
對(duì)于樣本空間(Ω,S)(\Omega,\mathbf{S})(Ω,S)的一個(gè)測(cè)度μ\muμ，假設(shè)它的完備化的測(cè)度μ?\mu^*μ?定義在σ\sigmaσ-代數(shù)Sμ?\mathbf{S}^*_{\mu}Sμ??上，則
Sμ?={H?Ω:inf?H?G∈Sμ(G)=sup?H?F∈Sμ(F)}\mathbf{S}^*_{\mu} = \{H \subset \Omega:\inf_{H \subset G \in \mathbf{S}} \mu(G) = \sup_{H \supset F \in \mathbf{S}} \mu(F)\} Sμ??={H?Ω:H?G∈Sinf?μ(G)=H?F∈Ssup?μ(F)}
第一項(xiàng)是基于μ\muμ的外測(cè)度，第二項(xiàng)是基于μ\muμ的內(nèi)測(cè)度，這里認(rèn)為完備就是內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度相等。這樣還只是樣本空間對(duì)一個(gè)測(cè)度的完備化，為了在樣本空間上可以處理多個(gè)分布，我們希望樣本空間對(duì)盡可能多的概率測(cè)度都是完備的，因此定義絕對(duì)完備化（也可以叫做閉包）：
S?=?P∈Cap(Ω,S)SP?S^* = \bigcap_{P \in Cap(\Omega,\mathbf{S})} S^*_PS?=P∈Cap(Ω,S)??SP??
絕對(duì)完備化與Caratheodory擴(kuò)張有一個(gè)類似的性質(zhì)，(S?)?=S?(\mathbf{S}^*)^*=\mathbf{S}^*(S?)?=S?
這說明S\mathbf{S}S的閉包S?\mathbf{S}^*S?是對(duì)所有可能的概率測(cè)度均完備的最大的σ\sigmaσ-代數(shù)。
上一講提到統(tǒng)計(jì)決策就是可以用樣本空間到?jīng)Q策空間的一個(gè)映射來表示，f:(Ω,S)→(A,A)f:(\Omega,\mathbf{S}) \to (A,\mathbf{A})f:(Ω,S)→(A,A)，考慮到后續(xù)要定義期望，我們先假設(shè)fff在樣本空間上可測(cè)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們需要把fff的可測(cè)性推廣到S\mathbf{S}S與A\mathbf{A}A的閉包：
引理 f:(Ω,S)→(A,A)f:(\Omega,\mathbf{S}) \to (A,\mathbf{A})f:(Ω,S)→(A,A)可測(cè)，則f:(Ω,S?)→(A,A?)f:(\Omega,\mathbf{S}^*) \to (A,\mathbf{A}^*)f:(Ω,S?)→(A,A?)可測(cè)
證明 ?H∈A?\forall H \in \mathbf{A}^*?H∈A?，?μ∈Cap(Ω,S)\forall \mu \in Cap(\Omega,\mathbf{S})?μ∈Cap(Ω,S)，我們考慮(A,A)(A,\mathbf{A})(A,A)上的導(dǎo)出測(cè)度ν=μf?1\nu=\mu f^{-1}ν=μf?1，?G?,F?∈A\exists G^*,F^* \in \mathbf{A}?G?,F?∈A
ν(G?)=inf?H?G∈Aν(G)=ν(H)=sup?H?F∈Aν(F)=ν(F?)\nu(G^*)=\inf_{H \subset G \in \mathbf{A}} \nu(G) =\nu(H)= \sup_{H \supset F \in \mathbf{A}} \nu(F)=\nu(F^*)ν(G?)=H?G∈Ainf?ν(G)=ν(H)=H?F∈Asup?ν(F)=ν(F?)
說明μ(f?1G?)=μ(f?1H)=μ(f?1F?)\mu(f^{-1}G^*)=\mu(f^{-1}H) = \mu(f^{-1}F^*)μ(f?1G?)=μ(f?1H)=μ(f?1F?)。由于G??H?F?G^*\supset H \supset F^*G??H?F?，f?1G??f?1H?f?1F?f^{-1}G^* \supset f^{-1}H \supset f^{-1}F^*f?1G??f?1H?f?1F?，f?1H∈Sμ?f^{-1}H \in S^*_{\mu}f?1H∈Sμ??，所以f?1H∈S?f^{-1}H \in S^*f?1H∈S?。
隨機(jī)變量是樣本空間到實(shí)空間（或者復(fù)空間）的映射f:Ω→Rrf:\Omega \to \mathbb{R}^rf:Ω→Rr，它的期望是
EPf=∫Ωf(w)P(dw)E_Pf = \int_{\Omega} f(w)P(dw)EP?f=∫Ω?f(w)P(dw)
上一講還提到，可以用Markov轉(zhuǎn)移概率T(w,a)T(w,a)T(w,a)來定義統(tǒng)計(jì)決策過程。在給定aaa的時(shí)候，T(w,a)T(w,a)T(w,a)是樣本空間的一個(gè)可測(cè)函數(shù)；在給定www的時(shí)候，T(w,a)T(w,a)T(w,a)是決策空間的概率測(cè)度。用一個(gè)更專業(yè)的詞匯來描述統(tǒng)計(jì)決策過程，我們稱它是由轉(zhuǎn)移概率T(w,a)T(w,a)T(w,a)定義的從樣本空間到?jīng)Q策空間的一個(gè)Markov態(tài)射。正式介紹統(tǒng)計(jì)決策理論之后我們會(huì)把這個(gè)概念以及上面那個(gè)引理推廣為隨機(jī)同態(tài)。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的统计决策理论2 条件分布上的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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