统计决策理论2 条件分布上
統計決策理論2 條件分布上
給定一個可測的樣本空間(Ω,S)(\Omega,\mathbf{S})(Ω,S)，定義Cap(Ω,S)Cap(\Omega,\mathbf{S})Cap(Ω,S)表示這個可測空間所有可能的概率測度的集合。在Kolmogorov公理化體系下，我們對概率測度的完備性是沒有要求的，這是概率論中通常不需要在同一個樣本空間中處理多種不同的分布。但在數理統計中，我們經常需要在同一個樣本空間中處理不同的分布，所以這里先給出S\mathbf{S}S的完備化。
對于樣本空間(Ω,S)(\Omega,\mathbf{S})(Ω,S)的一個測度μ\muμ，假設它的完備化的測度μ?\mu^*μ?定義在σ\sigmaσ-代數Sμ?\mathbf{S}^*_{\mu}Sμ??上，則
Sμ?={H?Ω:inf?H?G∈Sμ(G)=sup?H?F∈Sμ(F)}\mathbf{S}^*_{\mu} = \{H \subset \Omega:\inf_{H \subset G \in \mathbf{S}} \mu(G) = \sup_{H \supset F \in \mathbf{S}} \mu(F)\} Sμ??={H?Ω:H?G∈Sinf?μ(G)=H?F∈Ssup?μ(F)}
第一項是基于μ\muμ的外測度，第二項是基于μ\muμ的內測度，這里認為完備就是內測度與外測度相等。這樣還只是樣本空間對一個測度的完備化，為了在樣本空間上可以處理多個分布，我們希望樣本空間對盡可能多的概率測度都是完備的，因此定義絕對完備化（也可以叫做閉包）：
S?=?P∈Cap(Ω,S)SP?S^* = \bigcap_{P \in Cap(\Omega,\mathbf{S})} S^*_PS?=P∈Cap(Ω,S)??SP??
絕對完備化與Caratheodory擴張有一個類似的性質，(S?)?=S?(\mathbf{S}^*)^*=\mathbf{S}^*(S?)?=S?
這說明S\mathbf{S}S的閉包S?\mathbf{S}^*S?是對所有可能的概率測度均完備的最大的σ\sigmaσ-代數。
上一講提到統計決策就是可以用樣本空間到決策空間的一個映射來表示，f:(Ω,S)→(A,A)f:(\Omega,\mathbf{S}) \to (A,\mathbf{A})f:(Ω,S)→(A,A)，考慮到后續要定義期望，我們先假設fff在樣本空間上可測。在數理統計中，我們需要把fff的可測性推廣到S\mathbf{S}S與A\mathbf{A}A的閉包：
引理 f:(Ω,S)→(A,A)f:(\Omega,\mathbf{S}) \to (A,\mathbf{A})f:(Ω,S)→(A,A)可測，則f:(Ω,S?)→(A,A?)f:(\Omega,\mathbf{S}^*) \to (A,\mathbf{A}^*)f:(Ω,S?)→(A,A?)可測
證明 ?H∈A?\forall H \in \mathbf{A}^*?H∈A?，?μ∈Cap(Ω,S)\forall \mu \in Cap(\Omega,\mathbf{S})?μ∈Cap(Ω,S)，我們考慮(A,A)(A,\mathbf{A})(A,A)上的導出測度ν=μf?1\nu=\mu f^{-1}ν=μf?1，?G?,F?∈A\exists G^*,F^* \in \mathbf{A}?G?,F?∈A
ν(G?)=inf?H?G∈Aν(G)=ν(H)=sup?H?F∈Aν(F)=ν(F?)\nu(G^*)=\inf_{H \subset G \in \mathbf{A}} \nu(G) =\nu(H)= \sup_{H \supset F \in \mathbf{A}} \nu(F)=\nu(F^*)ν(G?)=H?G∈Ainf?ν(G)=ν(H)=H?F∈Asup?ν(F)=ν(F?)
說明μ(f?1G?)=μ(f?1H)=μ(f?1F?)\mu(f^{-1}G^*)=\mu(f^{-1}H) = \mu(f^{-1}F^*)μ(f?1G?)=μ(f?1H)=μ(f?1F?)。由于G??H?F?G^*\supset H \supset F^*G??H?F?，f?1G??f?1H?f?1F?f^{-1}G^* \supset f^{-1}H \supset f^{-1}F^*f?1G??f?1H?f?1F?，f?1H∈Sμ?f^{-1}H \in S^*_{\mu}f?1H∈Sμ??，所以f?1H∈S?f^{-1}H \in S^*f?1H∈S?。
隨機變量是樣本空間到實空間（或者復空間）的映射f:Ω→Rrf:\Omega \to \mathbb{R}^rf:Ω→Rr，它的期望是
EPf=∫Ωf(w)P(dw)E_Pf = \int_{\Omega} f(w)P(dw)EP?f=∫Ω?f(w)P(dw)
上一講還提到，可以用Markov轉移概率T(w,a)T(w,a)T(w,a)來定義統計決策過程。在給定aaa的時候，T(w,a)T(w,a)T(w,a)是樣本空間的一個可測函數；在給定www的時候，T(w,a)T(w,a)T(w,a)是決策空間的概率測度。用一個更專業的詞匯來描述統計決策過程，我們稱它是由轉移概率T(w,a)T(w,a)T(w,a)定義的從樣本空間到決策空間的一個Markov態射。正式介紹統計決策理論之后我們會把這個概念以及上面那個引理推廣為隨機同態。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的统计决策理论2 条件分布上的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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