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UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2

發布時間：2025/4/14 编程问答 19 豆豆

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UA MATH564 概率論IV 次序統計量例題2

次序統計量常用公式
答案

次序統計量常用公式

定理1（單個次序統計量的分布）
$FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1?F(x)]n?kF_{X_{(j)}} = \sum_{k=j}^n C_n^k [F(x)]^k[1-F(x)]^{n-k}$
定理2（單個次序統計量的概率密度）
$f_{X_{(j)}}(x) = jC_n^j [F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)$
定理3（兩個次序統計量的聯合概率密度）不妨假設 $j > i$ ，則
$fX(i),X(j)(xi,xj)=n!(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!f(xi)f(xj)[F(xi)]i?1[F(xj)?F(xi)]j?i?1[1?F(xj)]n?jf_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}f(x_{i})f(x_{j})[F(x_i)]^{i-1}[F(x_j)-F(x_i)]^{j-i-1}[1-F(x_j)]^{n-j}$

答案

例2 如果 $X1,?,XnX_1,\cdots,X_n$ 的分布是
$\frac{a}{\theta^a}x^{a-1},x \in (0,\theta)$
證明 $X(1)/X(2),?,X(n?1)/X(n),X(n)X_{(1)}/X_{(2)},\cdots,X_{(n-1)}/X_{(n)},X_{(n)}$ 互相獨立，并計算他們的分布。

這道題可以看成是例1的推廣，在做題之前先引入一個新的定理。

定理4（所有次序統計量的聯合概率密度）
$f(x(1),?,x(n))=n!f(x1)f(x2)?f(xn)f(x_{(1)},\cdots,x_{(n)})=n!f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)$
證明用定理3證明的思路，考慮下面的微元，
$f(x(1),?,x(n))(Δx)n=P(x1≤X(1)<x1+Δx,?,xn≤X(n)<xn+Δx)f(x_{(1)},\cdots,x_{(n)}) (\Delta x)^n = P(x_1 \le X_{(1)} < x_1 + \Delta x,\cdots, x_n\le X_{(n)} < x_n + \Delta x)$
其中 $x1<x2<?<xnx_1 < x_2 < \dots < x_n$ ， $Δx≤inf?(xi?xi?1)\Delta x \le \inf(x_i - x_{i-1})$ ，這個概率可以分為 $n$ 個部分來計算，首先從 $n$ 個樣本中選出一個位于 $[x1,x1+Δx)[x_1,x_1 + \Delta x)$ 中；然后從剩余的 $n ? 1$ 個樣本中選出一個位于 $[x2,x2+Δx)[x_2,x_2 + \Delta x)$ 中，再重復 $n ? 3$ 次，直到剩下最后一個樣本位于 $[xn,xn+Δx)[x_n,x_n+\Delta x)$ 中。
第一部分的概率是 $Cn1f(x1)ΔxC_n^1f(x_1)\Delta x$ ，第二部分的概率是 $Cn?11f(x2)ΔxC_{n-1}^1 f(x_2)\Delta x$ ， $?\cdots$ ，最后一部分的概率是 $C11f(xn)ΔxC_1^1 f(x_n)\Delta x$ ；將這 $n$ 部分概率相乘：
$f(x(1),?,x(n))(Δx)n=n!f(x1)f(x2)?f(xn)(Δx)nf(x_{(1)},\cdots,x_{(n)}) (\Delta x)^n = n!f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)(\Delta x)^n$
約掉微元 $(Δx)n(\Delta x)^n$ 即可。
證畢

對于例2，根據定理4可得， $X(1),?,X(n)X_{(1)},\cdots,X_{(n)}$ 的聯合概率密度為
$f(x(1),?,x(n))=n![f(x)]n=n!anθanx1a?1?xna?1f(x_{(1)},\cdots,x_{(n)})=n! [f(x)]^n = \frac{n!a^n}{\theta^{an}}x_1^{a-1}\cdots x_n^{a-1}$

接下來定義 $Yk=X(k)/X(k+1),k=1,?,n?1,Yn=X(n)Y_k = X_{(k)}/X_{(k+1)},k=1,\cdots,n-1,Y_n = X_{(n)}$ ，則
$X(n)=Yn,X(k)=X(k+1)Yk,k=1,2,?,n?1X_{(n)} = Y_n,X_{(k)} = X_{(k+1)}Y_k,k=1,2,\cdots,n-1$
計算Jacobi行列式，記 $Y?k=∏i≠kYi,Y?kj∏i≠k,jYiY_{-k} = \prod_{i \ne k} Y_i,Y_{-kj}\prod_{i \ne k,j} Y_i$ 以此類推
$J(Y1,?,Yn)=∣?(X(1),?,X(n))?(Y1,?,Yn)∣=∣Y?10?0Y?2Y?12?0????Y?nY?2n?1∣=Y?1Y?12?Y?123?n?1=∏i≠1Yi∏i≠1,2Yi?Yn=Y2Y32?Ynn?1J(Y_1,\cdots,Y_n) = \left| \frac{\partial(X_{(1)},\cdots,X_{(n)})}{\partial(Y_{1},\cdots,Y_{n})} \right| \\ = \left| \begin{matrix} Y_{-1} & 0& \cdots &0 \\ Y_{-2} & Y_{-12} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ Y_{-n} & Y_{-2n} & \cdots & 1 \\ \end{matrix} \right| = Y_{-1}Y_{-12}\cdots Y_{-123\cdots n-1} \\ = \prod_{i \ne 1} Y_i \prod_{i \ne 1,2} Y_i \cdots Y_n = Y_2Y_3^2 \cdots Y_n^{n-1}$
這個行列式是一個下三角行列式，因此這個行列式等于主對角線元素的乘積。因此 $Y1,?,YnY_1,\cdots,Y_n$ 的聯合概率密度為
$f(y1,?,yn)=J(y1,?,yn)f(y1?yn,y2?yn,?,yn)=y2y32?ynn?1n!anθan(y1?yn,y2?yn)a?1?yna?1=n!anθany1a?1y22a?1?ynna?1f(y_1,\cdots,y_n) = J(y_1,\cdots,y_n)f(y_1\cdots y_n,y_2 \cdots y_n, \cdots,y_n) \\ = y_2y_3^2 \cdots y_n^{n-1} \frac{n!a^n}{\theta^{an}}(y_1\cdots y_n,y_2 \cdots y_n)^{a-1}\cdots y_n^{a-1} \\ = \frac{n!a^n}{\theta^{an}}y_1^{a-1}y_2^{2a-1}\cdots y_n^{na-1}$
將上一講的引理1推廣到 $n$ 個隨機變量的情形可知 $Y1,?,YnY_1,\cdots,Y_n$ 互相獨立。

引理2 $X1,?,Xn～f(x1,?,xn)X_1,\cdots,X_n \sim f(x_1,\cdots,x_n)$ ， $?f(x1,?,xn)=h1(x1)?hn(xn)\exists f(x_1,\cdots,x_n)=h_1(x_1)\cdots h_n(x_n)$ ，則 $X1,?,XnX_1,\cdots,X_n$ 互相獨立。
證明
$f(xi)=(∫?∞+∞)n?1f(x1,?,xn)∏j≠idxj=h(xi)(∫?∞+∞)n?1∏j≠ih(xj)dxj∏i=1nf(xi)=∏i=1nh(xi)(∫?∞+∞)n?1∏j≠ih(xj)dxj=f(x1,?,xn)∏i=1n(∫?∞+∞)n?1∏j≠ih(xj)dxj=Fubinif(x1,?,xn)(∫?∞+∞)n∏h(xj)dxj=f(x1,?,xn)f(x_i) = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} f(x_1,\cdots,x_n) \prod_{j \ne i} dx_j = h(x_i)\left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} \prod_{j \ne i} h(x_j)dx_j\\ \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n h(x_i)\left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} \prod_{j \ne i} h(x_j)dx_j \\ = f(x_1,\cdots,x_n) \prod_{i=1}^n \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} \prod_{j \ne i} h(x_j)dx_j \\ =_{Fubini} f(x_1,\cdots,x_n) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n} \prod h(x_j)dx_j = f(x_1,\cdots,x_n)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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