矩陣分析與多元統計12 0-1矩陣 交換矩陣簡介

• 選擇矩陣
• 交換矩陣

顧名思義，0-1矩陣就是所有元素取值均為0和1的矩陣，這類矩陣在矩陣分析、多元統計乃至組合學和圖論中都有很重要的應用。在這個主題中我打算介紹選擇矩陣、排列矩陣、交換矩陣、消元矩陣、復制矩陣和移位矩陣。（其實排列矩陣就是行列互換的初等變換矩陣。。。）

選擇矩陣

選擇矩陣selection matrix的作用是通過與某個矩陣相乘，使得結果等于這個矩陣中我們希望選擇的那些元素構成的矩陣。最簡單的selection matrix是列選擇矩陣。假設$A\in F^{m\times n}$，$a_i$表示它的第$i$個列向量，$e_i$表示$I_n$的第$i$列，定義$S=[e_{i_1},?,e_{i_k}],1\le i_1<i_2<?<i_k\le n$，它是一個列選擇矩陣，作用是選出$A$的第$i_1,?,i_k$列，
$$AS=[a_{i_1},a_{i_2},?,a_{i_k}]\in F^{m\times k}$$
類似地可以定義行選擇矩陣，$a^i$表示$A$的第$i$個行向量，$e^i$表示$I_m$的第$i$行，定義$S=[e^{i_1};?;e^{i_k}],1\le i_1<i_2<?<i_k\le n$，那分號表示換行：
$$[e^{i_1};?;e^{i_k}]=[(e^{i_1}{)}^{\prime },?,(e^{i_k}{)}^{\prime }{]}^{\prime }$$
它是一個列選擇矩陣，可以選出$A$的第$i_1,?,i_k$行，
$$SA=[a^{i_1};a^{i_2};?;a^{i_k}]\in F^{k\times n}$$

要選擇$A$的第$i,j$個元素是比較容易的，
$$e^{i}A{e}_j=a_j^i$$
根據這個性質也可以定義選擇$A$的某個子矩陣的方法。

交換矩陣

對于矩陣$A\in F^{m\times n}$，
$$vec(A)=[a_1;?;a_n]\in F^{mn\times 1},vec(A^{\prime })=[a^1,?,a^m{]}^{\prime }\in F^{mn\times 1}$$

如果$?K_{mn}\in F^{mn\times mn},K_{mn}vec(A)=vec(A^{\prime })$，則稱$K_{mn}$是交換矩陣。根據定義我們會發現交換矩陣有如下簡單性質：

$K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=vec(A)$

$K_{nm}=K_{mn}^{\prime }=K_{mn}^{?1}$

$K_{1n}=K_{n1}=I_n$

證明 想必大家對交換矩陣會感覺很陌生，但它在矩陣求導的時候會發揮很強大的功能，性質3非常直觀，這里就不談了，我把性質1和2都簡單證明評述一下：
性質1：根據定義計算左邊的式子
$$K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=K_{nm}vec(A^{\prime })=vec((A^{\prime }{)}^{\prime })=vec(A)$$
性質2：事實上交換矩陣的指標對應的是矩陣$A$的維數，$K_{mn}$表示它交換的是$F^{m\times n}$上的矩陣，$K_{nm}$表示它交換的是$F^{n\times m}$上的矩陣，性質2給出了這兩個交換矩陣的是互為轉置的關系，并指出交換矩陣是正交矩陣，先證明互為轉置的關系，根據定義，
$$K_{mn}vec(A)=vec(A^{\prime })=[devec(A){]}^{\prime }$$

再根據性質1，
$$\begin{gathered} K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=K_{nm}[devec(A){]}^{\prime }=vec(A) \\ ?devec(A)K_{nm}^{\prime }=[vec(A){]}^{\prime }=devec(A^{\prime }) \end{gathered}$$

再對定義的兩邊求轉置，
$$[vec(A){]}^{\prime }{K}_{mn}^{\prime }=[vec(A^{\prime }){]}^{\prime }?devec(A^{\prime })K_{mn}^{\prime }=devec(A)$$

比較這兩個式子就可以得到$K_{mn}^{\prime }=K_{nm}$；接下來證明交換矩陣是正交矩陣，根據性質1和互為轉置的關系，
$$K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=K_{mn}^{\prime }{K}_{mn}vec(A)=vec(A),?A?K_{mn}^{\prime }=K_{mn}^{?1}$$

證畢

盡管有了交換的一個定義，但我們對交換矩陣是什么還是沒有很直觀的概念，下面我先舉一個數值例子，先看看交換矩陣有什么用：

例 交換矩陣的作用
$$A=?\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}?,A^{\prime }=?\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}?$$
則$$vec(A)=?\begin{array}{c}1\\ 4\\ 7\\ 2\\ 5\\ 8\\ 3\\ 6\\ 9\end{array}?,vec(A^{\prime })=?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\end{array}?$$
交換矩陣$K_{33}$的作用是把$vec(A)$變成$vec(A^{\prime })$。

下一個問題是：我們能不能寫出$K_{33}$這個矩陣長什么樣子呢？或者說更一般地，我們怎么寫出$K_{mn}$這個矩陣？記$e_i(n)$表示單位矩陣$I_n$的第$i$列，$e^i(n)$表示單位矩陣$I_n$的第$i$行，則
$$K_{mn}=?\begin{array}{c}{I}_n?e^1(m)\\ I_n?e^2(m)\\ ?\\ I_n?e^m(m)\end{array}?=\left[\begin{array}{cccc}{I}_m?e_1(n)& I_m?e_2(n)& ?& I_m?e_n(n)\end{array}\right]$$
比如在上面的例子中，我們可以寫出：
$$K_{33}=?\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}?$$
按行來看，每一行不為0的元素正好是第1、4、7、2、5、8、3、6、9個，因此$K_{33}$乘以$vec(A)$時，會按順序將$vec(A)$的第1、4、7、2、5、8、3、6、9個元素取出來排成一列。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计12 0-1矩阵 交换矩阵简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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