UA MATH564 概率論 QE練習題3

• 第一題
• 第二題
• 第三題

這是2015年1月的1-3題。

第一題

Part a
Obvioulsy, $EU=EW=0$,
$$\begin{gathered} VarU=Var(Y?Z)=1+1?2\gamma =2?2\gamma \\ VarW=Var(Y+Z)=1+1+2\gamma =2+2\gamma \end{gathered}$$

So $U～N(0,2?2\gamma ),W～N(0,2+2\gamma )$.

Part b
$$Cov(U,W)=Cov(Y?Z,Y+Z)=Var(Y)?Var(Z)+Cov(Y,Z)?Cov(Y,Z)=0$$

Notice they are bivariate normal, so they are independent.

Part c
參考UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎2 多元正態分布中正態分布的條件分布：$Y=(Y_1^{\prime },Y_2^{\prime }{)}^{\prime },\mu =({\mu }_1^{\prime },{\mu }_2^{\prime }{)}^{\prime },Y_1,{\mu }_1\in {\mathbb{R}}^{r\times 1},Y_2,{\mu }_2\in {\mathbb{R}}^{(m?r)\times 1}$，$A{A}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}{V}_{11}& V_{12}\\ V_{21}& V_{22}\end{array}\right]$，$V_{11}\in {\mathbb{R}}^{r\times r},V_{22}\in {\mathbb{R}}^{(m?r)\times (m?r)},V_{12}\in {\mathbb{R}}^{r\times (m?r)},V_{21}\in {\mathbb{R}}^{(m?r)\times r}$，則
$$\begin{gathered} E[Y_1|Y_2]={\mu }_1+V_{12}{V}_{22}^{?1}(Y_{22}?{\mu }_2) \\ Var(Y_1|Y_2)=V_{11,2}=V_{11}?V_{12}{V}_{22}^{?1}{V}_{11} \end{gathered}$$

Now compute
$$Cov(X,W)=Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)=\rho$$

So
$$\begin{gathered} E[X|W]=\frac{\rho }{2+2\gamma }W \\ Var(X|W)=1?\frac{\rho }{2+2\gamma } \end{gathered}$$

第二題

參考UA MATH564 概率論I 求離散型隨機變量的分布1例3。

第三題

Part a
By LLN, $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^{?1}=1/H_n{\to }_{p}E(1/X_1)$,
$$E(1/X_1)={\int }_1^2\frac{1}{x}dx=\ln 2$$

By property of convergence in probability, $H_n{\to }_{p}1/\ln 2=c$

Part b
參考UA MATH564 概率論V 中心極限定理中的Delta方法，
$$Z_n=\frac{g(\bar{X})?g(\mu )}{\sqrt{[g^{\prime }(\mu ){]}^2\frac{{\sigma }^2}{n}}}{\to }_{D}N(0,1)$$

Let $H_n=\frac{1}{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^{?1}},g(\mu )=c$,
$${\sigma }^2=E(1/X_1^2)?(\ln 2{)}^2={\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx?(\ln 2{)}^2=\frac{1}{2}?(\ln 2{)}^2$$

$$\sqrt{[g^{\prime }(\mu ){]}^2\frac{{\sigma }^2}{n}}=\sqrt{\frac{1}{{\mu }^4}\frac{{\sigma }^2}{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{\frac{1}{2}?(\ln 2{)}^2}{(\ln 2{)}^4}}$$

So
$$\sqrt{n}(H_n?1/\ln 2){～}_{d}N(0,\frac{\frac{1}{2}?(\ln 2{)}^2}{(\ln 2{)}^4})$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论 QE练习题3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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