UA MATH564 概率論 QE練習題 概率極限理論

• 2015/5/3
• 2016/1/3

這是2015年5月的3題、2016年1月的3題

2015/5/3

這個題干有點意思，有一列隨機變量但并不是互相獨立的，知道第一個是均勻的，后續的條件分布給了。
Part a
$$E[X_{n+1}^r|X_n]={\int }_0^{c{X}_n}{x}^r\frac{1}{c{X}_n}dx=\frac{c^r{X}_n^r}{1+r}$$

By the Iteration of expectation,
$$E[X_n^r]=E[E[X_n^r|X_{n?1}]]=E[\frac{c^r{X}_{n?1}^r}{1+r}]=\frac{c^r}{1+r}E[X_{n?1}^r]$$

So
$$E[X_n^r]=\frac{c^{r(n?1)}}{(1+r{)}^{n?1}}E{X}_1^r=\frac{c^{r(n?1)}}{(1+r{)}^n}$$

Part b
Notice $\sqrt{3}<c<2$ . Let $r=1$,
$$E{X}_n=\frac{c^{n?1}}{2^n}=\frac{1}{2}(\frac{c}{2}{)}^{n?1}\to 0,asn\to \infty$$

Let $r=2$,
$$E{X}_n^2=\frac{(c^2{)}^{n?1}}{3^n}=\frac{1}{3}(\frac{c^2}{3}{)}^{n?1}\to \infty ,asn\to \infty$$

Part c （簡單點的做法是取任意$r\le 1$，用Markov不等式即可）
To show $??>0$, $?M>0$ such that
$$\sum _{n=1}^{\infty }P(|X_n?0|>?)=\sum _{n=1}^{\infty }P(X_n>?)<M$$

By Markov inequality
$$\begin{gathered} P(X_n>?)\le \frac{E{X}_n^r}{{?}^r} \\ \sum _{n=1}^{\infty }P(X_n>?)\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{E{X}_n^r}{{?}^r}=\frac{1}{2c^r{?}^r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(c^r{)}^n}{(1+r{)}^n}=\frac{1}{2c^r{?}^r}\frac{\frac{c^r}{1+r}?(\frac{c^r}{1+r}{)}^{\infty }}{1?\frac{c^r}{1+r}} \end{gathered}$$

Let $c^r<1+r$ holds,
$$\sum _{n=1}^{\infty }P(X_n>?)\le \frac{1}{2c^r{?}^r}\frac{\frac{c^r}{1+r}}{1?\frac{c^r}{1+r}}=\frac{1}{2{?}^r(1+r?c^r)}$$

By continuity, $?r^{?}$ such that $c^{r^{?}}<1+r^{?}$, and for all $r$ in the neighborhood of $r^{?}$
$${\delta }_1<1+r?c^r<{\delta }_2,?{\delta }_2>{\delta }_1$$

Now fix ${\delta }_1\ge 1/{?}^r$, then
$$\frac{1}{2{?}^{r^{?}}(1+r^{?}?c^{r^{?}})}<\infty$$

2016/1/3

證明依概率收斂有幾種不同的辦法：用定義證明、證明均方收斂、證明幾乎必然收斂、證明依分布收斂均可以說明依概率收斂，需要我們根據條件靈活選取方法。這里只有均值、方差的信息，所以顯然是要我們證明均方收斂。

Compute
$$\begin{gathered} E\left(\frac{2}{n(n+1)}\sum _{j=1}^{n}j{X}_j\right)=\frac{2}{n(n+1)}\sum _{j=1}^{n}jE{X}_j=\frac{2}{n(n+1)}\frac{n(n+1)}{2}=1 \\ Var\left(\frac{2}{n(n+1)}\sum _{j=1}^{n}j{X}_j\right)=\frac{4}{n^2(n+1{)}^2}\left[\sum _{j=1}^n{j}^{2}Var(X_j)\right] \end{gathered}$$

Note that the variance of population is finite. Denote it as ${\sigma }^2$. As $n\to \infty$
$$RHS=\frac{4{\sigma }^2}{n^2(n+1{)}^2}\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{4{\sigma }^2}{n^2(n+1{)}^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2{\sigma }^2(2n+1)}{3n(n+1)}\to 0$$

So
$$\frac{2}{n(n+1)}\sum _{j=1}^{n}j{X}_j{\to }_{p}1$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论 QE练习题 概率极限理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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