UA MATH566 統計理論7 還有一個例子：推導卡方檢驗

• 均值已知
• 均值未知

前面的文章中我們已經推導了Z檢驗和T檢驗，Z檢驗是方差已知時比較單個或兩個正態總體均值的方法；T檢驗是方差未知時比較單個或兩個正態總體均值的方法。這一講推導卡方檢驗，它是比較單個正態總體方差的方法。考慮雙邊檢驗：
考慮雙邊的單總體檢驗：
$$\begin{gathered} H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2 \\ {H}_a:{\sigma }^2={\sigma }_0^2 \end{gathered}$$

均值已知

假設樣本為$X_1,?,X_n{～}_{iid}N(\mu ,{\sigma }^2)$，參數$\mu$是已知的，參數$\sigma$都是未知的。參數空間可以寫成
$$\begin{gathered} \Theta =\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu \in \mathbb{R},{\sigma }^2>0\} \\ {\Theta }_0=\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu \in \mathbb{R},{\sigma }^2={\sigma }_0^2\} \\ {\Theta }_1=\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu \in \mathbb{R},{\sigma }^2={\sigma }_0^2\} \end{gathered}$$

樣本的似然函數為
$$L(\mu ,{\sigma }^2)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(?\frac{1}{2{\sigma }^2}(X_i?\mu {)}^2\right)=(2\pi {)}^{n/2}({\sigma }^2{)}^{n/2}\exp \left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{2{\sigma }^2}(X_i?\mu {)}^2\right)$$

下面取${\sigma }_1^2={\sigma }_0^2$，計算似然比
$$\begin{gathered} \frac{L(\mu ,{\sigma }_0^2)}{L(\mu ,{\sigma }_1^2)}=\frac{(2\pi {)}^{n/2}({\sigma }_0^2{)}^{n/2}\exp \left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2{\sigma }_0^2}(X_i?\mu {)}^2\right)}{(2\pi {)}^{n/2}({\sigma }_1^2{)}^{n/2}\exp \left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2{\sigma }_1^2}(X_i?\mu {)}^2\right)} \\ =\frac{({\sigma }_0^2{)}^{n/2}}{({\sigma }_1^2{)}^{n/2}}\exp \left((\frac{1}{2{\sigma }_0^2}?\frac{1}{2{\sigma }_1^2})\sum _{i=1}^n(X_i?\mu {)}^2\right) \end{gathered}$$

記統計量
$$T(X)=\sum _{i=1}^n(X_i?\mu {)}^2～{\sigma }^2{\chi }_n^2$$

則$T(X)$要讓這個似然比足夠小，我們需要分兩種情況來討論：
情況1 假設${\sigma }_1^2>{\sigma }_0^2$，則似然比關于$T(X)$是單調遞增的，要讓似然比比較小，需要$T(X)$也比較小，在原假設下，$T(X)$的$\alpha /2$分位點為${\sigma }_0^2{\chi }_{\alpha /2,n}^2$，因此拒絕域為
$$\{X:T(X)\le {\sigma }_0^2{\chi }_{\alpha /2,n}^2\}$$

情況1 假設${\sigma }_1^2<{\sigma }_0^2$，則似然比關于$T(X)$是單調遞減的，要讓似然比比較小，需要$T(X)$比較大，在原假設下，$T(X)$的$1?\alpha /2$分位點為${\sigma }_0^2{\chi }_{1?\alpha /2,n}^2$，因此拒絕域為
$$\{X:T(X)\ge {\sigma }_0^2{\chi }_{1?\alpha /2,n}^2\}$$

綜上，當$\mu$已知時，卡方檢驗的拒絕域為
$$\{X:T(X)\le {\sigma }_0^2{\chi }_{\alpha /2,n}^2\}\cup \{X:T(X)\ge {\sigma }_0^2{\chi }_{1?\alpha /2,n}^2\}$$

其中檢驗統計量為
$$T(X)=\sum _{i=1}^n(X_i?\mu {)}^2～{\sigma }^2{\chi }_n^2$$

均值未知

均值未知時，我們先計算出均值的最大似然估計，
$$\hat{\mu }=\bar{X}$$

然后計算似然比
$$\begin{gathered} \frac{L(\bar{X},{\sigma }_0^2)}{L(\bar{X},{\sigma }_1^2)}=\frac{(2\pi {)}^{n/2}({\sigma }_0^2{)}^{n/2}\exp \left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2{\sigma }_0^2}(X_i?\bar{X}{)}^2\right)}{(2\pi {)}^{n/2}({\sigma }_1^2{)}^{n/2}\exp \left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2{\sigma }_1^2}(X_i?\bar{X}{)}^2\right)} \\ =\frac{({\sigma }_0^2{)}^{n/2}}{({\sigma }_1^2{)}^{n/2}}\exp \left((\frac{1}{2{\sigma }_0^2}?\frac{1}{2{\sigma }_1^2})\sum _{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2\right) \end{gathered}$$

記統計量
$$T(X)=\sum _{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2～{\sigma }^2{\chi }_n^2?1$$

$T(X)$的分布可以參考UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎1正態樣本方差的分布。$T(X)$要讓這個似然比足夠小，我們需要分兩種情況來討論：
情況1 假設${\sigma }_1^2>{\sigma }_0^2$，則似然比關于$T(X)$是單調遞增的，要讓似然比比較小，需要$T(X)$也比較小，在原假設下，$T(X)$的$\alpha /2$分位點為${\sigma }_0^2{\chi }_{\alpha /2,n?1}^2$，因此拒絕域為
$$\{X:T(X)\le {\sigma }_0^2{\chi }_{\alpha /2,n?1}^2\}$$

情況1 假設${\sigma }_1^2<{\sigma }_0^2$，則似然比關于$T(X)$是單調遞減的，要讓似然比比較小，需要$T(X)$比較大，在原假設下，$T(X)$的$1?\alpha /2$分位點為${\sigma }_0^2{\chi }_{1?\alpha /2,n?1}^2$，因此拒絕域為
$$\{X:T(X)\ge {\sigma }_0^2{\chi }_{1?\alpha /2,n?1}^2\}$$

綜上，當$\mu$已知時，卡方檢驗的拒絕域為
$$\{X:T(X)\le {\sigma }_0^2{\chi }_{\alpha /2,n?1}^2\}\cup \{X:T(X)\ge {\sigma }_0^2{\chi }_{1?\alpha /2,n?1}^2\}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH566 统计理论7 还有一个例子：推导卡方检验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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