UA MATH571B 試驗設計 QE練習題 不使用代碼分析試驗結果I

• 2014年5月第一題
• 2015年5月第一題
• 2016年5月第二題
• 2017年1月第一題

不使用代碼分析試驗結果考察的是對試驗設計基本概念與統計方法的掌握程度，但不使用代碼難以分析復雜的contract、multiple comparison以及做模型診斷等工作，所以這類題目考察的重點是基本概念和ANOVA table相關計算。

2014年5月第一題

這個題目的背景是要比較四個計算機系統打印圖片的效率，選擇了四個計算機系統（A、B、C、D），四個素描的數據集（I、II、III、IV）和四種操作（1、2、3、4），用Latin Square Design進行試驗，比較系統、數據集和操作對打印效率的影響，response是每小時打印的圖片數。下面是一些簡單的結果。

Part a
題干第一句話有提示，要研究的是four computer systems，所以treatment variable是computer system，那么剩下兩個就是block variable，set of rough sketch and operator

Part b
因為是兩個blocking factor，再加上題干的試驗設計的示意圖，可以看出這是一個Latin Square Design

Part c
分析一下那部分的ANOVA table。
$$\begin{gathered} s{s}_1=2.16+0.24+1.52+0.90=4.82 \\ d{f}_1=d{f}_2=d{f}_3=4?1=3,d{f}_5=4^2?1=15,d{f}_4=15?3?3?3=6 \end{gathered}$$

Part d
The largest difference between any two levels of systems is 2.6-1.8=0.8 and the
MSE=0.90/6=0.15. So there is a very small probability that all these means can be
covered by the same t distribution with scale factor of 0.194(=sqrt(MSE/4)).

這個是答案，簡單分析一下這個題目。不計算p值，判斷system的效應是否顯著，通常我們容易想到的有兩種方法。第一種是計算F統計量，為$\frac{1.52/3}{0.90/6}=3.378$，這是一個不大不小的值，可以查表判斷它對應的顯著性水平，但這種方法和計算p值的思路基本一樣了，估計不能得分，所以考慮第二種方法，判斷四個系統的均值$1.8,2.6,2.1,1.9$能不能被同一個t檢驗導出的置信區間覆蓋，這個置信區間的中心位于$(1.8+2.6+2.1+1.9)/4=2.1$，標準差的估計量為0.194(=sqrt(MSE/4))，如果顯著性水平為$\alpha$，則置信區間端點為$2.1+/?0.194t_{1?\alpha /2}$，離2.1最遠的是2.6，注意到$(2.6?2.1)/0.194=2.577$，因此要覆蓋到還是需要比較小的$\alpha$的。答案說的大概就是第二種這個意思。

Part e
題目的6 pairs指的是每兩個system的打印效率都不相同。但ANOVA F檢驗顯著只能說明能顯著得拒絕原假設：所有system的打印效率都相同，即ANOVA F檢驗顯著說明存在至少一組有顯著差異。

Part f
Randomized Complete Blocking Design.

Part g
Completely Randomized Design with four replicates.

2015年5月第一題

這個題的設計是Factorial design with four replicates，Pen和Wash Treatment是treatment factor。
Part a
上面那個表里面的數字就是${\mu }_{ij}$的估計，
$${\hat{\mu }}_{ij}={\bar{y}}_{ij.}=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{y}_{ijk},Var({\hat{\mu }}_{ij})=\frac{{\sigma }^2}{4}$$

MSE是${\sigma }^2$的估計量，所以${\hat{\mu }}_{ij}$標準差的估計量就是$\sqrt{MSE}/2$。

Part b
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk} \\ {?}_{ijk}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2),\sum _{i=1}^3{\tau }_i=\sum _{i=1}^3(\tau \beta {)}_{ij}=\sum _{j=1}^3{\beta }_j=\sum _{j=1}^3(\tau \beta {)}_{ij}=0 \end{gathered}$$

其中${\tau }_i,i=1,2,3$分別表示Pen為1、2、3的效應，${\beta }_j,j=1,2,3$分別表示Wash Treatment為1,、2、3的效應，$(\tau \beta {)}_{ij}$表示交互效應。參考UA MATH571B 試驗設計V 析因設計簡介

在Excel里面簡單算一下

Part c
Notice ${\hat{\tau }}_i={\bar{y}}_{i..}?\bar{y}={\bar{y}}_{i..}?({\bar{y}}_{1..}+{\bar{y}}_{2..}+{\bar{y}}_{3..})/3$. Take $i=1$ as example,
$$\begin{gathered} Var({\hat{\tau }}_1)=\frac{4Var({\bar{y}}_{1..})+Var({\bar{y}}_{2..})+Var({\bar{y}}_{3..})}{9} \\ =\frac{2}{3}Var({\bar{y}}_{1..})=\frac{2}{3}\frac{{\sigma }^2}{3\times 4}=\frac{{\sigma }^2}{18} \end{gathered}$$

用MSE作為${\sigma }^2$的估計量代入計算即可。

Part d\e

2016年5月第二題

This is a factorial design with two random factor with statistical model
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk} \\ {\tau }_i～N(0,{\sigma }_{\tau }^2),{\beta }_j～N(0,{\sigma }_{\beta }^2),(\tau \beta {)}_{ij}～N(0,{\sigma }_{\tau \beta }^2) \end{gathered}$$

It’s standard approach to calculate variance

2017年1月第一題

之前介紹試驗設計類型的時候已經提到了，這個設計是One random factor design with 5 replicates.

Part b
$$\begin{gathered} y_{ij}=\mu +{\tau }_i+{?}_{ij},i,j=1,?,5 \\ {\tau }_i～N(0,{\sigma }_{\tau }^2),{?}_{ij}～N(0,{\sigma }^2) \end{gathered}$$

Part c
$$H_0:{\sigma }_{\tau }^2=0$$

Part d
Since the P-value is given as P = 0.004, and this is less than 0.05, we reject the null
hypothesis and conclude that the batches differ significantly.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计 QE练习题 不使用代码分析试验结果I的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。